Question

如图，已知：在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的中线，AB=13，BC=10，
（1）求△ABC的面积；
（2）求tan∠DBC的值．

Answer 1

考点：勾股定理,等腰三角形的性质,解直角三角形

专题：

分析：（1）作等腰三角形底边上的高AH并根据勾股定理求出，再根据三角形面积公式即可求解；
（2）方法一：作等腰三角形底边上的高AH并根据勾股定理求出，与BD交点为E，则E是三角形的重心，再根据三角形重心的性质求出EH，∠DBC的正切值即可求出．
方法二：作出底边上的高，在过D作DF⊥BC，先根据勾股定理求出AH的长，再根据三角形中位线定理求出DF的长，BF的长就等于BC的

3

4

，∠DBC的正切值即可求出．

解答：解：（1）过点A作AH⊥BC，垂足为点H，交BD于点E．
∵AB=AC=13，BC=10
∴BH=5（1分）
在Rt△ABH中，AH=12，
∴△ABC的面积=10×12÷2=60；

（2）方法一：过点A作AH⊥BC，垂足为点H，交BD于点E．
∵AB=AC=13，BC=10
∴BH=5（1分）
在Rt△ABH中，AH=12
∵BD是AC边上的中线
所以点E是△ABC的重心
∴EH=

1

3

=4，
∴在Rt△EBH中，tan∠DBC=

HE

HB

=

4

5

．

方法二：过点A、D分别作AH⊥BC、DF⊥BC，垂足分别为点H、F．
∵BC=10，AH⊥BC，AB=AC，
∴BH=5（1分）
∵AB=13，
∴AH=

132-52

=12，
在Rt△ABH中，AH=12
∵AH∥DF
∴DF=

1

2

AH=6
BF=

3

4

BC=

15

2

∴在Rt△DBF中，tan∠DBC=

DF

BF

=

4

5

．

点评：本题利用等腰三角形三线合一的性质和勾股定理，第一种方法还运用三角形的重心把中线分成2：1的两段，第二种方法还运用三角形中位线定理都需要熟练掌握．