Question

如图，已知∠MON=90°，线段AB长为6cm，AB两端分别在OM、ON上滑动，以AB为边作正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点P，连结OC．
（1）求OC的最大值；
（2）求证：无论点A、点B怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；
（3）若OP=4

2

，求OA的长．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,勾股定理

专题：几何图形问题,动点型

分析：（1）当连接OQ，CQ，当O，C，Q三点共线时，OC有最大值，由正方形的性质和勾股定理得出答案即可；
（2）作PE⊥OM、PF⊥ON，证得△PAE≌△PBF，得出PE=PF，得出结论；
（3）由（2）的结论，利用OA=OE+AE，求出AE、OE解决问题．

解答：（1）解：取AB的中点Q，连接OQ，CQ，当O，C，Q三点共线时，
OC有最大值，最大值为：OQ+QC=

1

2

×6+

62+32

=3+3

5

，

（2）作PE⊥OM、PF⊥ON垂足分别为E、F，
∠PEA=∠PFB=90°，
∵ABCD是正方形，
∴PA=PB，
∵∠AOB=∠ABC=90°，
∴∠CBN=∠OAB，∠POC=∠PAB=45°，
∴CNB+∠POC=∠PAB+∠OAB，
即∠PAE=∠PBF，
∴△PAE≌△PBF，
∴PE=PF，
即P在角AOB的平分线上；
（3）四边形OEPF是正方形，
OP=4

2

，OE=PE=

2

2

OP=4，AB=6，PA=3

2

AE=

PA2-PE2

=

2

，
∴OA=OE+AE=4+

2

或OA=4-

2

．

点评：此题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，以及勾股定理的综合运用．