题目内容
13．【问题提出】在平面直角坐标系xOy中，矩形OBCD是个货场，点C的坐标为（1000，600），C、D是两个入口，OB紧邻铁路线，现拟在货场内建一个收费站P，在OB上建一个发货站H，铺设公路DP、CP以及PH，设L=DP+CP+PH，求当L最小时点P、H的坐标，并求出L的最小值．
【思路探寻】
（1）若点P的位置确定，且P的坐标为（400，300），请在图1中作出点H，使得L最小，并求出H的坐标及L的最小值（结果保留根号）；
（2）若点H的位置确定，且H的坐标为（400，0），请在图2中作出点P，使得L最小，并求出L的最小值（结果精确到十分位）；
【问题解决】
（3）结合（1）（2），请在图中作出P、H点，使L最小，并求出点P、H的坐标及L的最小值（结果保留根号）．
分析 （1）当PH⊥x轴时，L最小，则PH即可求得，根据勾股定理求得DP和PC，即可求解；
（2）当P和H重合是L最小，利用勾股定理求得DH和HC即可求解；
（3）作出D关于x轴的对称点D'，则D'C与x轴的交点就是P，P和H重合，利用勾股定理求得D'C的长，就是L的最小值．
解答 
解：（1）当PH⊥x轴时，L最小．
PH=600-300=300，
则DP=$\sqrt{40{0}^{2}+（600-300）^{2}}$=500，
PC=$\sqrt{（1000-400）^{2}+（600-300）^{2}}$=300$\sqrt{5}$，
则L=300+500+300$\sqrt{5}$=800+300$\sqrt{5}$；
（2）当P和H重合是L最小，DH=$\sqrt{40{0}^{2}+60{0}^{2}}$=200$\sqrt{13}$，
HC=$\sqrt{（1000-400）^{2}+60{0}^{2}}$=600$\sqrt{2}$，
则L=200$\sqrt{13}$+600$\sqrt{2}$≈200×3.606+600×1.414=1569.6；
（3）作出D关于x轴的对称点D'，则D'的坐标是（0，-600）．
则D'C与x轴的交点就是H（P），设直线D'C的解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{1000k+b=600}\\{b=-600}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1.2}\\{b=-600}\end{array}\right.$，
则直线的解析是：y=1.2x-600．
当y=0时，x=500，
则P和H的坐标是（500，0）．
L的最小值是：$\sqrt{（600+600）^{2}+100{0}^{2}}$=200$\sqrt{61}$．
点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式以及点的对称，根据对称性正确确定H和P的位置是关键．
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案| A． | ±3 | B． | 3 | C． | -3 | D． | 以上答案都不对 |
| A． | 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 | |
| B． | 在同一平面内，两条直线的位置关系是平行、相交与垂直 | |
| C． | 平移前后图形的形状和大小都没有发生改变 | |
| D． | 相等的角是对顶角 |
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OA、OB、CD的中点．求证：
（1）如图，若以火车站为坐标原点，建立平面直角坐标系，超市的坐标为：（2，-3），则市场的坐标：（4，3），文化宫的坐标：（-3，1）；