Question

1．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．
（1）图中是否存在与△ODM相似的三角形，若存在，请找出并给予证明；
（2）设DM=x，OA=R，求R关于x的函数关系式；
（3）在动点O逐渐向点D运动（OA逐渐增大）的过程中，△CMN的周长如何变化？说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得出∠OMN=90，从而证得∠OMD=∠MNC；则△ODM∽△MCN；
（2）由DM=x，设OA=OM=R；则得出OD，由勾股定理得R与x的关系；
（3）可分为两种解法得出答案．由△ODM∽△MCN，得$\frac{MC}{OD}$=$\frac{CN}{DM}$，用含x的式子表示出CN，MN，从而得出△CMN的周长是一个定值．

解答 （1）答：存在△MCN与△ODM相似．
证明：△∵MN切⊙O于点M，
∴∠OMN=90°．
∵∠OMD+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°，
∴∠OMD=∠MNC．
又∵∠D=∠C=90°，
∴△ODM∽△MCN．
（2）解：在Rt△ODM中，DM=x，设OA=OM=R，
∴OD=AD-OA=8-R，
由勾股定理得：（8-R）²+x²=R²，
∴64-16R+R²+x²=R²，
∴R=$\frac{{x}^{2}+64}{16}$．
（3）解：∵CM=CD-DM=8-x，OD=8-R=8-$\frac{{x}^{2}+64}{16}$，
且有△ODM∽△MCN，
∴$\frac{MC}{OD}$=$\frac{CN}{DM}$，
∴代入得到：CN=$\frac{16x}{x+8}$．
同理$\frac{MC}{OD}$=$\frac{MN}{OM}$，
∴代入得到：MN=$\frac{{x}^{2}+64}{x+8}$，
∴△CMN的周长为P=CM+CN+MN=（8-x）+$\frac{16x}{x+8}$+$\frac{{x}^{2}+64}{x+8}$=（8-x）+（x+8）=16，
在点O的运动过程中，△CMN的周长始终为16，是一个定值．

点评 本题主要考查了圆的综合题，涉及相似三角形的判定及性质，勾股定理及切线的性质，是一道综合题，难度较大．