Question

定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．

理解：（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；

（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC=BD．求证：四边形ABCD是对等四边形；

（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=，点A在BP边上，且AB=13．用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．

Answer 1

解：（1）如图1所示（画2个即可）．

（2）如图2，连接AC，BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠ACB=90°，

在Rt△ADB和Rt△ACB中，

∴Rt△ADB≌Rt△ACB，

∴AD=BC，

又∵AB是⊙O的直径，

∴AB≠CD，

∴四边形ABCD是对等四边形．

（3）如图3，点D的位置如图所示：

①若CD=AB，此时点D在D₁的位置，CD₁=AB=13；

②若AD=BC=11，此时点D在D₂、D₃的位置，AD₂=AD₃=BC=11，

过点A分别作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足为E，F，

设BE=x，

∵tan∠PBC=，

∴AE=，

在Rt△ABE中，AE²+BE²=AB²，

即，

解得：x₁=5，x₂﹣5（舍去），

∴BE=5，AE=12，

∴CE=BC﹣BE=6，

由四边形AECF为矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12，

在Rt△AFD₂中，，

∴，，

综上所述，CD的长度为13、12﹣或12+．