Question

3．化简与计算：
（1）$\sqrt{31×32×33×34+1}$
（2）$\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$•（$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{ab}-b}$-$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$）÷$\frac{\sqrt{b}}{a-b}$
（3）$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{14}-\sqrt{15}-\sqrt{21}}{\sqrt{10}+\sqrt{14}+\sqrt{15}+\sqrt{21}}$
（4）$\frac{\sqrt{6}+4\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{（\sqrt{6}+\sqrt{3}）（\sqrt{3}+\sqrt{2}）}$．

Answer 1

分析 （1）设x=31，原式=$\sqrt{x（x+1）（x+2）（x+3）+1}$，把根号下的式子变形为完全平方式，得到原式=x²+3x+1，然后把x=31代入计算即可；
（2）利用因式分解的方法，把分子和分母部分变形得到原式=$\frac{\sqrt{ab}（\sqrt{a}+\sqrt{b}）}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$•[$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}$-$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$]•$\frac{（\sqrt{a}+\sqrt{b}）（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}{\sqrt{b}}$，然后约分后计算括号内的减法运算，然后再进行约分即可；
（3）利用因式分解的方法变形得到原式=$\frac{\sqrt{2}（\sqrt{5}+\sqrt{7}）-\sqrt{3}（\sqrt{5}+\sqrt{7）}}{\sqrt{2}（\sqrt{5}+\sqrt{7}）+\sqrt{3}（\sqrt{5}+\sqrt{7}）}$，利用同分母的减法运算可写成$\frac{\sqrt{2}（\sqrt{5}+\sqrt{7}）}{（\sqrt{5}+\sqrt{7}）（\sqrt{2}+\sqrt{3}）}$-$\frac{\sqrt{3}（\sqrt{5}+\sqrt{7}）}{（\sqrt{5}+\sqrt{7}）（\sqrt{2}+\sqrt{3}）}$，然后分别约分后进行分母有理化，然后合并即可；
（4）把分子变形得到原式=$\frac{（\sqrt{6}+\sqrt{3}）+3（\sqrt{3}+\sqrt{2}）}{（\sqrt{6}+\sqrt{3}）（\sqrt{3}+\sqrt{2}）}$，然后与（3）题的计算方法一样．

解答 解：（1）设x=31，则原式=$\sqrt{x（x+1）（x+2）（x+3）+1}$
=$\sqrt{（{x}^{2}+3x）（{x}^{2}+3x+2）+1}$
=$\sqrt{（{x}^{2}+3x）^{2}+2（{x}^{2}+3x）+1}$
=$\sqrt{（{x}^{2}+3x+1）^{2}}$
=x²+3x+1
=31²+3×31+1
=735；
（2）原式=$\frac{\sqrt{ab}（\sqrt{a}+\sqrt{b}）}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$•[$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}$-$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$]•$\frac{（\sqrt{a}+\sqrt{b}）（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}{\sqrt{b}}$
=$\sqrt{ab}$•$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{b}}{（\sqrt{a}+\sqrt{b}）（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}$•$\frac{（\sqrt{a}+\sqrt{b}）（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}{\sqrt{b}}$
=2$\sqrt{ab}$；
（3）原式=$\frac{\sqrt{2}（\sqrt{5}+\sqrt{7}）-\sqrt{3}（\sqrt{5}+\sqrt{7）}}{\sqrt{2}（\sqrt{5}+\sqrt{7}）+\sqrt{3}（\sqrt{5}+\sqrt{7}）}$
=$\frac{\sqrt{2}（\sqrt{5}+\sqrt{7}）}{（\sqrt{5}+\sqrt{7}）（\sqrt{2}+\sqrt{3}）}$-$\frac{\sqrt{3}（\sqrt{5}+\sqrt{7}）}{（\sqrt{5}+\sqrt{7}）（\sqrt{2}+\sqrt{3}）}$
=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$-$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
=$\sqrt{2}$（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）-$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）
=$\sqrt{6}$-2-3$\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$
=-2-3$\sqrt{3}$；
（4）原式=$\frac{（\sqrt{6}+\sqrt{3}）+3（\sqrt{3}+\sqrt{2}）}{（\sqrt{6}+\sqrt{3}）（\sqrt{3}+\sqrt{2}）}$
=$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}$
=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$
=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．合理使用因式分解和约分．