Question

如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m的值和这个一次函数的解析式；
（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；
（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使△OCE的面积S₁与△OCD的面积S满足：S₁=

2

3

S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法，由正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），即可求得解析式；
（2）由点B在反比例函数图象上，即可求得m的值；又由此一次函数是正比例函数平移得到的，可知一次函数与反比例函数的比例系数相同，代入点B的坐标即可求得解析式；
（3）令一次函数令y=x-

9

2

中的x=0得，y=-

9

2

，令y=x-

9

2

中的y=0得，x=

9

2

，求出D（0，-

9

2

），C（

9

2

，0），然后利用待定系数法，即可求出过A、B、D三点的二次函数的解析式；
（4）先由三角形的面积公式计算出△OCD的面积S=

81

8

，再计算出S₁=

2

3

S=

27

4

，然后设E点的坐标为（x，y），由三角形OCE面积公式求出y=±3，再由点E在抛物线上，将y=±3，代入抛物线求出x的值，即可得到E点的坐标．

解答：解：（1）设正比例函数的解析式为y=ax，反比例函数的解析式为y=

k

x

，
∵正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），
∴3=3a，3=

k

3

，
∴a=1，k=9，
∴正比例函数的解析式为y=x，反比例函数的解析式为y=

9

x

．
（2）∵点B（6，m）在反比例函数上，
∴m=

9

6

=

3

2

，
∴B点的坐标为（6，

3

2

），
∵直线BD是直线OA平移后所得的直线，
∴可设直线BD的解析式为y=x+b，
将B点代入上面的关系式得：

3

2

=6+b，
∴b=-

9

2

，
∴这个一次函数的解析式为y=x-

9

2

．
（3）令y=x-

9

2

中的x=0得，y=-

9

2

，
∴D（0，-

9

2

），
令y=x-

9

2

中的y=0得，x=

9

2

，
∴C（

9

2

，0），
设过A、B、D三点的二次函数的解析式为：
y=ax²+bx+c，
将A（3，3）、B（6，

3

2

）、D（0，-

9

2

）三点代入上面的关系式得：

9a+3b+c=3① 36a+6b+c= 3 2 ② c=- 9 2 ③

，
解得：

a=- 1 2 b=4 c=- 9 2

，
∴过A、B、D三点的二次函数的解析式为：y=-

1

2

x2+4x-

9

2

，
（4）存在点E，使△OCE的面积S₁与△OCD的面积S满足：S₁=

2

3

S，
∵S△OCD=

1

2

•OC•OD=

1

2

•

9

2

•

9

2

=

81

8

，
∴S₁=

2

3

S=

2

3

×

81

8

=

27

4

，
设E点的坐标为（x，y），
∵S△OCE=

1

2

•OC•|y|，
∴

27

4

=

1

2

•

9

2

•|y|，
∴y=±3，
将y=3代入y=-

1

2

x2+4x-

9

2

得：
x₁=3，x₂=5，
∴E₁（3，3），E₂（5，3），
将y=-3代入y=-

1

2

x2+4x-

9

2

得：
x3=4+

13

，x4=4-

13

，
∴E3(4+

13，

-3)，E4(4-

13，

-3)，
∴存在4个点E，E₁（3，3），E₂（5，3），E3(4+

13，

-3)，E4(4-

13，

-3)，使△OCE的面积S₁与△OCD的面积S满足：S₁=

2

3

S．

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式与三角形面积的求解方法等知识．主要考查学生数形结合的数学思想方法．