题目内容

已知，如图，抛物线y= $数学公式$ x²+bx+3与x轴的正半轴交于A、B两点（A在B的左侧），且与y轴交于点C，O为坐标原点，OB=4．
（1）直接写出点B，C的坐标及b的值；
（2）过射线CB上一点N，作MN∥OC分别交抛物线、x轴于M、T两点，设点N的横坐标为t．
①当0＜t＜4时，求线段MN的最大值；
②以点N为圆心，NM为半径作⊙N，当点B恰好在⊙N上时，求此时点M的坐标．

解：（1）点B（4，0），C（0，3），b=- $\text{[math]}$ ，

（2）①如图所示，设过点B（4，0），C（0，3）的直线CB的解析式为：y=kx+m，（k≠0），
∴ $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴直线CB的解析式为：y=- $\text{[math]}$ x+3，
∵MN∥OC，
∴依据题意得出：N（t，- $\text{[math]}$ t+3），则M（t， $\text{[math]}$ t²- $\text{[math]}$ t+3），
∵当0＜t＜4时，点M在点N的下方，
∴MN=（- $\text{[math]}$ t+3）-（ $\text{[math]}$ t²- $\text{[math]}$ t+3），
=- $\text{[math]}$ t²+2t，
=- $\text{[math]}$ （t-2）²+2，
∴当t=2时，MN有最大值2；

②依据题意得出：
当MN=BN时，点B恰好在⊙N上，
由于t=0，（点M，N重合），
t=4（点M，N和B重合）均不符合题意，故舍去，
a）当0＜t＜4时，如图，由①得：MN=- $\text{[math]}$ t²+2t，
又∵MN∥OC．OC⊥OB，
∴MN⊥OB，垂足为T（t，0），
∴cos∠NBT= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，（I）
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
此时点N在点T的上方，点T在点B的左边．
∴TB=4-t，
代入（I）式得：
NB= $\text{[math]}$ （4-t），
由 $\text{[math]}$ （4-t）=- $\text{[math]}$ t²+2t，
整理可得：2t²-13t+20=0，
解得：t₁=4（不合题意舍去），
t₂= $\text{[math]}$ ，

故此时点M的坐标是（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）；
b）当t＞4时，如图所示，点M在点N的上方，MN= $\text{[math]}$ t²-2t，
此时点N在点T的下方，点T在点B的右边，
∴TB=t-4，
代入（I）式，可得：NB= $\text{[math]}$ （t-4），
由 $\text{[math]}$ （t-4）= $\text{[math]}$ t²-2t，
整理可得：2t²-13t+20=0，
解得：t₁=4（不合题意舍去），
t₂= $\text{[math]}$ （不合题意舍去）．
综上所述：符合题意的点M的坐标为（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）根据抛物线y= $\text{[math]}$ x²+bx+3直接得出点C的坐标，由OB=4，得出B点坐标，代入解析式即可得出b的值，
（2）①首先求出直线CB的解析式，进而得出MN=（- $\text{[math]}$ t+3）-（ $\text{[math]}$ t²- $\text{[math]}$ t+3）=- $\text{[math]}$ （t-2）²+2，得出最值即可；
②根据当0＜t＜4时，由①得：MN=- $\text{[math]}$ t²+2t，以及当t＞4时，点M在点N的上方，MN= $\text{[math]}$ t²-2t分别求出t的值即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及一元二次方程的解法，根据已知得出 $\text{[math]}$ （4-t）=- $\text{[math]}$ t²+2t或 $\text{[math]}$ （t-4）= $\text{[math]}$ t²-2t是解题关键．