Question

19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx-$\frac{4}{13}$，经过点A（5，12），直线l与x轴相交于点B，与∠AOB的平分线相交于点C，直线l的解析式为y=kx+13k（k≠0），BC=OB．
（1）若点C在此抛物线上，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，过点A作y轴的平行线，与直线l相交于点D，设P为抛物线上的一个动点，连接PA、PD，当S_△PAD=$\frac{1}{2}$S_△COB时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出B点坐标，得到OA=OB=13，再证明AO∥CB，加上OB=BC=13，则可判断四边形AOBC为平行四边形，所以AC∥OB，AC=OB=13，得到C（-8，12），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用待定系数法求出直线l的解析式，再确定D点坐标，则可求出AD的长，设出点P的横坐标为t，根据三角形的面积公式求出t，得到点P的坐标．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（5，12），
∴OA=13，
y=kx+13k，
当y=0时，kx+13k=0，
解得，x=-13，
则点B的坐标为（-13，0），
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵BO=BC，
∴∠BCO=∠BOC，
∴∠AOC=∠BCO，
∴BC∥OA，
∴四边形AOBC为平行四边形，
∴AC∥OB，AC=OB=13，
∴C（-8，12），
把A（5，12），C（-8，12）代入抛物线的解析式得，
$\left\{\begin{array}{l}{25a+5b-\frac{4}{13}=12}\\{64a-8b-\frac{4}{13}=12}\end{array}\right.$，
解得，a=$\frac{4}{13}$，b=$\frac{12}{13}$，
则抛物线的解析式为：y=$\frac{4}{13}$x²+$\frac{12}{13}$x-$\frac{4}{13}$；
（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，
由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{-13k+b=0}\\{-8k+b=12}\end{array}\right.$，
解得，k=$\frac{12}{5}$，b=$\frac{156}{5}$，
则直线BC的解析式为：y=$\frac{12}{5}$x+$\frac{156}{5}$，
∴点D的坐标为（5，$\frac{216}{5}$），
则AD=$\frac{156}{5}$，
由题意得，S_△COB=$\frac{1}{2}$×13×12=78，
设点P的横坐标为t，
由题意得，$\frac{1}{2}$×$\frac{156}{5}$×（|t-5|）=$\frac{1}{2}$×78，
解得，|t-5|=$\frac{5}{2}$，
则t=$\frac{15}{2}$或$\frac{5}{2}$，
∴点P的坐标为（$\frac{15}{2}$，$\frac{311}{13}$）或（$\frac{5}{2}$，$\frac{51}{13}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和平行四边形的判定与性质；会运用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质．解决本题的关键是画出几何图形和证明四边形AOBC为菱形．