Question

如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．
求证：△OAB是等腰三角形．

Answer 1

分析：利用HL定理得出△ABD≌△BAC即可得出∠DBA=∠CAB，再利用等腰三角形的判定得出即可．

解答：证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD
∴∠D=∠C=90°，
在Rt△ABD和Rt△BAC中，

AC=BD AB=BA

，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），
∴∠DBA=∠CAB，
∴OA=OB，
即△OAB是等腰三角形．

另外一种证法：
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD
∴∠D=∠C=90°
在Rt△ABD和Rt△BAC中

AC=BD AB=BA

∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）
∴AD=BC，
在△AOD和△BOC中

∠AOD=∠BOC ∠D=∠C AD=BC

，
∴△AOD≌△BOC（AAS），
∴OA=OB，
即△OAB是等腰三角形．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，根据已知得出Rt△ABD≌Rt△BAC是解题关键．