已知:如图.正方形ABCD的边长为2.动点E从点A出发.沿着A-B-C的方向以每秒钟1个单位长度的速度匀速运动.当点E到达点C时运动停止．联结DE.以DE为边作正方形DEFG．设运动的时间为x秒．(1)如图①.当点E在边AB上时.联结CG.求证:AE=CG,(2)如图②.当点E在边BC上时.设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为y.求y关于x的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．已知：如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿着A-B-C的方向以每秒钟1个单位长度的速度匀速运动，当点E到达点C时运动停止．联结DE，以DE为边作正方形DEFG．设运动的时间为x秒．
（1）如图①，当点E在边AB上时，联结CG，求证：AE=CG；
（2）如图②，当点E在边BC上时，设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）直接写出，在点E的运动过程中，对应的点F的运动路径的长．

分析（1）由正方形的性质得出AD=CD，DE=DG，∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDG=90°，证出∠ADE=∠CDG，由SAS证明△ADE≌△CDG；
（2）利用三角形的面积公式即可得出结论；
（3）由（1）知，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F的位置如图：点F运动的路径为BF；同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；由勾股定理求出BD，即可得出结果．

解答解：（1）∵正方形ABCD，正方形DEFG，
∴∠ADC=∠EDG=90°，AD=CD，DE=DG．
∴∠ADC-∠EDC=∠EDG-∠EDC．
即：∠ADE=∠CDG．
在△ADE和△CDG中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDG}\\{DE=DG}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△CDG．
∴AE=CG．
（2）∵正方形ABCD的边长为2，
∴AB=BC=CD=2，∠BCD=90°．
∵动点E从点A出发，沿着A-B-C的方向以每秒钟1个单位长度的速度匀速运动，且运动的时间为x秒．
∴EC=4-x，
∴y=S_△CDE=$\frac{1}{2}$EC•CD=$\frac{1}{2}$（4-x）×2=4-x
∴所求函数解析式为y=4-x．
自变量x的取值范围是2≤x≤4．
（3）如图，

当点E在AB上时，点G在直线BC上，
当点E与B点重合时，点F运动的路径为BF；
同理，点E在BC上时，
当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；
∵BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴BF+FG=2BD=4$\sqrt{2}$，
∴点F运动的路径长为4$\sqrt{2}$．