Question

16．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=3，则线段DF的长度为3．

Answer 1

分析 先证明AD=BD，再证明∠FBD=∠DAC，从而利用ASA证明△BDF≌△ADC，利用全等三角形对应边相等就可得到结论．

解答 证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠FDB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，
∴∠AEF=90°，
∴∠DAC+∠AFE=90°，
∵∠FDB=90°，
∴∠FBD+∠BFD=90°，
又∵∠BFD=∠AFE，
∴∠FBD=∠DAC，
在△BDF和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBD=∠CAD}\\{∠BDF=∠ADC}\\{BD=AC}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ADC，
∴DF=CD，
∵CD=3，
∴DF=3．
故答案为：3．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定和性质定理，关键是找出能使三角形全等的条件，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．