Question

15．如图，两个相似的等腰△ABC、△DEF的底边BC、EF均平行于y轴，$\frac{BC}{EF}$=$\frac{1}{2}$，D是BC的中点，点A、C，F都在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限内的图象上，且A的纵坐标是3，则BC的长是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 连接AD并延长交EF于点M，则点D、M的纵坐标均为3，设BC=a，EF=2a，用函数k、a的代数式表示出点A、C、F的坐标，根据相似三角形的性质可得出$\frac{AD}{DM}=\frac{BC}{EF}$，即$\frac{\frac{k}{3-\frac{1}{2}a}-\frac{k}{3}}{\frac{k}{3-a}-\frac{k}{3-\frac{1}{2}a}}=\frac{1}{2}$，解方程即可得出a值．

解答 解：连接AD并延长交EF于点M，如图所示．
设BC=a，EF=2a，
∵△ABC∽△DEF，AB=AC，DE=DF，D是BC的中点，BC、EF均平行于y轴，
∴M为EF的中点．
∵A的纵坐标是3，
∴点D、M的纵坐标为3，
∵点A、C，F都在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限内的图象上，
∴A（$\frac{k}{3}$，3），C（$\frac{k}{3-\frac{1}{2}a}$，3-$\frac{1}{2}$a），F（$\frac{k}{3-a}$，3-a）．
∵△ABC∽△DEF，
∴$\frac{AD}{DM}=\frac{BC}{EF}$，$\frac{\frac{k}{3-\frac{1}{2}a}-\frac{k}{3}}{\frac{k}{3-a}-\frac{k}{3-\frac{1}{2}a}}=\frac{1}{2}$，
解得：a=$\frac{3}{2}$，
经检验a=$\frac{3}{2}$是分式方程的解．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及相似三角形的性质，解题的关键是找出关于k、a的分式方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数图象上点的坐标特征找出点的坐标特征，再根据相似三角形的性质找出相似边的比例是关键．