Question

8．如图，在反比例函数y=-$\frac{2}{x}$的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=$\frac{k}{x}$的图象上运动．若tan∠CAB=2，则k的值为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，通过角的计算找出∠AOE=∠COF，结合“∠AEO=90°，∠CFO=90°”可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出$\frac{AE}{CF}=\frac{OE}{OF}=\frac{AO}{CO}$，再由tan∠CAB=$\frac{AO}{CO}$=2，可得出CF•OF=8，由此即可得出结论．

解答 解：连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示．

由直线AB与反比例函数y=-$\frac{2}{x}$的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴AO=BO．
又∵AC=BC，
∴CO⊥AB．
∵∠AOE+∠EOC=90°，∠EOC+∠COF=90°，
∴∠AOE=∠COF，
又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，
∴△AOE∽△COF，
∴$\frac{AE}{CF}=\frac{OE}{OF}=\frac{AO}{CO}$．
∵tan∠CAB=$\frac{OC}{AO}$=2，
∴CF=2AE，OF=2OE．
又∵AE•OE=|-2|=2，CF•OF=|k|，
∴k=±8．
∵点C在第一象限，
∴k=8．
故选D．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是求出CF•OF=8．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论．