Question

12．对于问题：证明不等式a²+b²≥2ab，甲、乙两名同学的作业如下：
甲：根据一个数的平方是非负数可知（a-b）²≥0，
∴a²-2ab+b²≥0，
∴a²+b²≥2ab．
乙：如图1，两个正方形的边长分别为a、b（b≤a），如图2，先将边长为a的正方形沿虚线部分分别剪成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，若再将Ⅰ、Ⅱ和边长为b的正方形拼接成如图3所示的图形，可知此时图3的面积为2ab，其面积小于或等于原来两个正方形的面积和，故不等式a²+b²≥2ab成立．
则对于两人的作业，下列说法正确的是（　　）

• A． 甲、乙都对
• B． 甲对，乙不对
• C． 甲不对，乙对
• D． 甲、乙都不对

Answer 1

分析 甲的证明利用了完全平方公式和不等式的性质进行推理，需对推理的合理性进行判断；乙是利用面积的切割、拼接的办法进行了推理证明，其对错需根据图形、面积是否相等进行判断．

解答 解：甲的证明利用了完全平方公式和不等式的性质，证明是正确的；
乙的证明：图2：a²=S_Ⅰ+S_Ⅱ+S_Ⅲ，
图3的面积=2ab=S_Ⅰ+S_Ⅱ+b²，
因为S_Ⅲ≥0，
所以S_Ⅰ+S_Ⅱ+S_Ⅲ+b²≥S_Ⅰ+S_Ⅱ+b²
所以a²+b²≥2ab．
故乙的证明也是正确的．
故选A．

点评 本题考查了完全平方公式、不等式的性质、正方形、矩形的面积公式．看懂图2图3的面积关系是解决本题的关键