Question

16．如图，已知在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°．
（1）作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，过点D作DE⊥AB于E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）；
（2）求证：AE=BE；
（3）若DE=2，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，过点D作DE⊥AB于E即可；
（2）根据∠A=30°，∠ACB=90°可得出∠ABC=60°，再由∠ABC的平分线BD可知∠ABD=30°，故AD=BD，由等腰三角形的性质即可得出结论；
（3）先根据直角三角形的性质得出AD的长，再由角平分线的性质得出CD的长，进而可得出结论．

解答 （1）解：如图，BD即为∠ABC的平分线，DE⊥AB；

（2）证明：∵在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°．
∵∠ABC的平分线BD，
∴∠A=∠ABD=30°，
∴AD=BD．
∵DE⊥AB，
∴AE=BE；

（3）解：∵∠A=30°，DE=2，
∴AD=2DE=4．
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE=2，
∴AC=AD+CD=4+2=6．

点评 本题考查的是作图-复杂作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．