Question

17．已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB∥CD，BC=12，AB＞6，点E为BC的中点，连接AE，ED，△ABE与△AFE关于直线AE对称，且点F在AD上
（1）求证：CD=DF；
（2）设AB=y，CD=x，写出y与x之间的关系式；
（3）过点F作FM∥CD交ED于点M，连接CM
①判断四边形DFMC的形状，并证明；
②若AB=6$\sqrt{3}$，求△EMF的面积．

Answer 1

分析 （1）根据点E为BC的中点可知BE=EC．再由BE=EF得出FE=EC，由HL定理可得出△DCE≌△DFE，由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）过点D作DN⊥AB于点N，由题意得，NB=CD=x=DF，AB=AF=y，DN=BC=12，再由勾股定理即可得出结论；
（3）①根据△DCE≌△DEF可得出∠EDF=∠EDC．再由FM∥CD可知∠EDF=∠DMF=∠MDC，故DF=MF，CD=MF，所以四边形CDFM是平行四边形．根据DF=DC即可得出结论；
②根据题意得出∠AEB=60°，故可得出∠AEF=∠FEC=60°，∠FED=$\frac{1}{2}$∠FEC=30°．过点F作FH⊥ED于点H，由勾股定理可得出FH，DF=DM，DE的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）∵点E为BC的中点，
∴BE=EC．
∵BE=EF，
∴FE=EC．
∵AB∥CD，
∴∠ECD=90°．
在Rt△DCE与Rt△△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l}ED=ED\\ EF=EC\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△DFE（HL），
∴DC=DF．

（2）方法一：过点D作DN⊥AB于点N，由题意得，NB=CD=x=DF，AB=AF=y，DN=BC=12，
∴AN²+DN²=AD²，即（y-x）²+12²=（y+x）²，化简得，xy=36，
∴y=$\frac{36}{x}$．
方法二：由题意可得∠AED=∠EFD=90°，∠ADE=∠AEB，
∴△ABE∽△EFD，
∴$\frac{AB}{EF}$=$\frac{BE}{FD}$，即$\frac{y}{6}$=$\frac{6}{x}$，
∴y=$\frac{36}{x}$；

（3）①四边形CDFM是菱形．
理由：∵△DCE≌△DEF，
∴∠EDF=∠EDC．
∵FM∥CD，
∴∠EDF=∠DMF=∠MDC，
∴DF=MF，
∴CD=MF，
∴四边形CDFM是平行四边形．
∵DF=DC，
∴四边形CDFM是菱形．
②∵AB=6$\sqrt{3}$，BE=CE=6，tan∠AEB=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{6\sqrt{3}}{6}$=$\sqrt{3}$，
∴∠AEB=60°．
∴∠AEF=∠FEC=60°，
∴∠FED=$\frac{1}{2}$∠FEC=30°．
过点F作FH⊥ED于点H，
∵BE=FE=6，
∴FH=3，DF=DM=2$\sqrt{3}$，DE=4$\sqrt{3}$，
∴EM=2$\sqrt{3}$，
∴S_△EMF=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×3=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是相似形综合题，涉及到全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、菱形的判定等知识，难度较大．