Question

如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧

AB

上一动点，且点P不与A、B重合，PC与AB相交于点D．
（1）求∠P的度数；
（2）求证：△CBD∽△CPB；
（3）若AB=2

3

，PD=1，求PC的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）首先证明∠A=60°，进而证明∠P=∠A=60°即可解决问题．
（2）证明∠DBC=∠P，∠BCD=∠PCB，即可解决问题．
（3）由△CBD∽△CPB，列出比例式，进而得到即BC²=PC•CD；证明BC=AB=2

3

，CD=PC-PD=PC-1，代入该式得到PC²-PC-12=0，解方程即可解决问题．

解答：解：（1）∵等边△ABC内接于⊙O，
∴∠A=∠ABC=60°，
∴∠P=∠A=60°．
（2）∵∠DBC=∠P=60°，∠BCD=∠PCB，
∴△CBD∽△CPB．
（3）∵△CBD∽△CPB，
∴BC：PC=CD：BC，即BC²=PC•CD①；
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=2

3

，而CD=PC-PD=PC-1，
代入上式得：PC²-PC-12=0，
解得：PC=4或-3（舍去），
即PC的长=4．

点评：该题以圆为载体，以圆周角定理及其推论、等边三角形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点考查为核心构造而成；牢固掌握定理是基础，灵活运用是解题的关键．