Question

4．如图1，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C、D分别为半径OA与AB上，且AC=2，CD∥OB，点P是CD上一动点，过P作PO的垂线交弧AB于点E、F，联结DE、DF
（1）若CP=CO时，求EF的值；
（2）如图2，联结EO、FO，若∠EOF=60°，求CP的长
（3）设CP=x，y=$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△OEF}}$，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．

Answer 1

分析 （1）连接OE，首先求出OP的长，在Rt△OPE中，求出EP，根据垂径定理EF=2EP即可解决问题．
（2）首先判断∠EOP=30°，求出EP，结合AC=2求出OC，在Rt△OCP中，可求出CP的长．
（3）如图3中，连接OE、OD，作DH⊥EF于H．由△COP∽△HPD，得$\frac{OP}{DP}$=$\frac{PC}{DH}$，求出DH，再根据y=$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△OEF}}$=$\frac{\frac{1}{2}•EF•DH}{\frac{1}{2}•EF•OP}$，计算即可．

解答 解：（1）如图1中，连接OE．

∵OC=CP=3，∠OCP=90°，
∴OP=3$\sqrt{3}$，
∵OP⊥EF，
∴EP=PF，EF=2EP，
在Rt△OPE中，∵∠OPE=90°，OE=5，OP=3$\sqrt{2}$，
∴EP=$\sqrt{O{E}^{2}-O{P}^{2}}$=$\sqrt{25-18}$=$\sqrt{7}$，
∴EF=2$\sqrt{7}$．

（2）如图2中，连接OE．

∵OE=OF，∠EOF=60°，
∴△EOF是等边三角形，
∵OP⊥EF，
∴∠EOP=∠FOP=30°，
∴OP=OE•cos30°=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△COP中，PC=$\sqrt{O{P}^{2}-O{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{39}}{2}$．

（3）如图3中，连接OE、OD，作DH⊥EF于H．

在Rt△COD中，CD=$\sqrt{O{D}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴DP=4-x，OP=$\sqrt{O{C}^{2}+C{P}^{2}}$=$\sqrt{9+{x}^{2}}$，
∵∠CPO+∠DPH=90°，∠COP+∠CPO=90°，
∴∠COP=∠DPH，∵∠OCP=∠DHP=90°，
∴△COP∽△HPD，
∴$\frac{OP}{DP}$=$\frac{PC}{DH}$，
∴$\frac{\sqrt{9+{x}^{2}}}{4-x}$=$\frac{x}{DH}$，
∴DH=$\frac{x（4-x）}{\sqrt{9+{x}^{2}}}$，
∴y=$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△OEF}}$=$\frac{\frac{1}{2}•EF•DH}{\frac{1}{2}•EF•OP}$=$\frac{4x-{x}^{2}}{9+{x}^{2}}$．（$\sqrt{6}$≤x＜4）．

点评 此题考查了圆的综合，涉及了垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质，综合考察的知识点较多，解答本题关键还是基本知识的掌握，要求同学们会运用数形结合思想解题．