Question

18．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁…按这样的规律进行下去，第4个正方形的边长为$\frac{27}{8}$$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由勾股定理求出AD，由正方形的性质得出AB=AD，证出△ABA₁∽△DOA，得出对应边成比例求出BA₁=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，得出CA₁=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，同理：C₁A₂=（$\frac{3}{2}$）²$\sqrt{5}$，得出规律，即可得出第4个正方形的边长．

解答 解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），
∴OA=1，OD=2，
∵∠AOD=90°，
∴AD=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，∠ODA+∠OAD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，AB=AD=$\sqrt{5}$，
∴∠ABA₁=90°，∠OAD+∠BAA₁=90°，
∴∠ODA=∠BAA₁，
∴△ABA₁∽△DOA，
∴$\frac{B{A}_{1}}{OA}=\frac{AB}{OD}$，
即$\frac{B{A}_{1}}{1}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴BA₁=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴CA₁=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
同理：C₁A₂=（$\frac{3}{2}$）²$\sqrt{5}$，
第4个正方形的边长为（$\frac{3}{2}$）³$\sqrt{5}$=$\frac{27}{8}\sqrt{5}$；
故答案为：$\frac{27}{8}\sqrt{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．