Question

点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点．
（1）如图1，以BD、BE为边分别作正△BMD和正△BEN，连接MF、FN、MN．求证：△FMN是等边三角形．
（2）如图2，以BD、BE为边分别作正方形BPMD和正方形BQNE，连接MF、NF、MN，则∠MFN的度数是

 

．（直接写出结论，不必说明理由）
（3）以BD、BE为边分别作正n边形，设两个正n边形与点D、E相邻的顶点分别是M、N（点M、N与点B是不同的点），连接MF、NF、MN得到△FMN，则∠MFN的度数是

 

（直接写出结论，结果用含n的代数式表示，不必说明理由）．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形性质求出DM=DB，BN=BE，∠BDM=60°，根据三角形的中位线推出平行四边形DFEB，推出DM=EF，DF=EN，求出∠MDF=∠FEN，证△MDF≌△FEN，推出FM=FN，求出∠MFE=∠MDB即可；
（2）根据正方形性质求出DM=DB，BN=BE，∠BDM=60°，根据三角形的中位线推出平行四边形DFEB，推出DM=EF，DF=EN，求出∠MDF=∠FEN，证△MDF≌△FEN，推出FM=FN，求出∠MFE=∠MDB即可；
（3）根据正多边形性质求出DM=DB，BN=BE，∠BDM=60°，根据三角形的中位线推出平行四边形DFEB，推出DM=EF，DF=EN，求出∠MDF=∠FEN，证△MDF≌△FEN，推出FM=FN，求出∠MFE=∠MDB即可．

解答：解：
（1）连接FD、FE，
∵△BDM和△BEN是等边三角形，
∴∠MDB=60°，BD=DM，BE=BN，
∵D、F、E分别为边AB、AC、BC的中点，
∴EF∥AB，DF∥BC，
∴DFEB是平行四边形
∴FE=BD=MD，DF=BE=EN，∠BDF=∠FEB
∴∠MDF=∠FEN，
在△MDF和△FEN中

DM=EF ∠MDF=∠FEN DF=EN

∴△MDF≌△FEN（ASA），
∴FM=FN，
而∠MFN=180°-∠EFN-∠MFD-∠BDF
=180°-∠DMF-∠MFD-∠BDF
=∠MDB=60°
∴△FMN是等边三角形；

（2）△FMN是等腰直角三角形，且∠MFN为90°，
理由是：连接FD、FE，
∵四边形BDMP和四边形BENQ是正方形，
∴∠MDB=90°，BD=DM，BE=BN，
∵D、F、E分别为边AB、AC、BC的中点，
∴EF∥AB，DF∥BC，
∴DFEB是平行四边形
∴FE=BD=MD，DF=BE=EN，∠BDF=∠FEB
∴∠MDF=∠FEN，
在△MDF和△FEN中

DM=EF ∠MDF=∠FEN DF=EN

∴△MDF≌△FEN（ASA），
∴FM=FN，
而∠MFN=180°-∠EFN-∠MFD-∠BDF
=180°-∠DMF-∠MFD-∠BDF
=∠MDB=90°，
故答案为：90°；

（3）∠MFN=

(n-2)180°

n

，
理由是：由（1）（2）知：∠MFN=180°-∠EFN-∠MFD-∠BDF
=180°-∠DMF-∠MFD-∠BDF
=∠MDB
=

(n-2)180°

n

．
故答案为：

(n-2)180°

n

．

点评：本题考查了正多边形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线性质的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，证明过程类似．