Question

6．已知：y关于x的函数y=（k-1）x²-2kx+k+2的图象与x轴有交点．
（1）求k的取值范围．
（2）若函数图象与x轴有两个交点，且满足k²-2k-2=0．
①求k的值；
②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）分成函数是一次函数和二次函数两种情况进行讨论，利用判别式即可求解；
（2）①解方程求得k的值；
②首先确定函数的顶点坐标，根据函数图象确定最值．

解答 解：（1）当k=1时，函数为一次函数y=-2x+3，其图象与x轴有一个交点．
当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，
令y=0得（k-1）x²-2kx+k+2=0．
△=（-2k）²-4（k-1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．
综上所述，k的取值范围是k≤2．             
（2）①∵图象与x轴有两个交点，可知k＜2且k≠1．
由k²-k-2=0
解得：k₁=-1，k₂=2 （不合题意，舍去）．
∴所求k值为-1．                          
②如图，∵k=-1，y=-2x²+2x+1=-2（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$．
且-1≤x≤1．
由图象知：当x=-1时，y_最小=-3；当x=$\frac{1}{2}$时，y_最大=$\frac{3}{2}$．
∴y的最大值为$\frac{3}{2}$，最小值为-3．

点评 本题考查二次函数与x轴的交点，以及函数顶点坐标的求法，正确根据函数图象确定最值，利用数形结合思想是关键．