题目内容
（2008•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE∥AB，交BC于E．（1）求证：ED为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，ED=4，EO的延长线交⊙O于F，连DF、AF，求△ADF的面积．
分析：（1）连接OD，CD，求出∠BDC=90°，根据OE∥AB和OA=OC求出BE=CE，推出DE=CE，根据SSS证△ECO≌△EDO，推出∠EDO=∠ACB=90°即可；
（2）过O作OM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，求出OM=FN，求出BC、AC、AB的值，根据sin∠BAC=
=
=
，求出OM，根据cos∠BAC=
=
=
，求出AM，根据垂径定理求出AD，代入三角形的面积公式求出即可．
（2）过O作OM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，求出OM=FN，求出BC、AC、AB的值，根据sin∠BAC=
| BC |
| AB |
| OM |
| OA |
| 8 |
| 10 |
| AC |
| AB |
| AM |
| OA |
| 3 |
| 5 |
解答：（1）证明：连接OD，CD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠CDA=90°=∠BDC，
∵OE∥AB，CO=AO，
∴BE=CE，
∴DE=CE，
∵在△ECO和△EDO中
，
∴△ECO≌△EDO，
∴∠EDO=∠ACB=90°，
即OD⊥DE，OD过圆心O，
∴ED为⊙O的切线．
（2）解：过O作OM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，
则OM∥FN，∠OMN=90°，
∵OE∥AB，
∴四边形OMFN是矩形，
∴FN=OM，
∵DE=4，OC=3，由勾股定理得：OE=5，
∴AC=2OC=6，
∵OE∥AB，
∴△OEC∽△ABC，
∴
=
，
∴
=
，
∴AB=10，
在Rt△BCA中，由勾股定理得：BC=
=8，
sin∠BAC=
=
=
，
即
=
，
OM=
=FN，
∵cos∠BAC=
=
=
，
∴AM=
由垂径定理得：AD=2AM=
，
即△ADF的面积是
AD×FN=
×
×
=
．
答：△ADF的面积是
．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠CDA=90°=∠BDC，
∵OE∥AB，CO=AO，
∴BE=CE，
∴DE=CE，
∵在△ECO和△EDO中
|
∴△ECO≌△EDO，
∴∠EDO=∠ACB=90°，
即OD⊥DE，OD过圆心O，
∴ED为⊙O的切线．
（2）解：过O作OM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，
则OM∥FN，∠OMN=90°，
∵OE∥AB，
∴四边形OMFN是矩形，
∴FN=OM，
∵DE=4，OC=3，由勾股定理得：OE=5，
∴AC=2OC=6，
∵OE∥AB，
∴△OEC∽△ABC，
∴
| OC |
| AC |
| OE |
| AB |
∴
| 3 |
| 6 |
| 5 |
| AB |
∴AB=10，
在Rt△BCA中，由勾股定理得：BC=
| 102-62 |
sin∠BAC=
| BC |
| AB |
| OM |
| OA |
| 8 |
| 10 |
即
| OM |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
OM=
| 12 |
| 5 |
∵cos∠BAC=
| AC |
| AB |
| AM |
| OA |
| 3 |
| 5 |
∴AM=
| 9 |
| 5 |
由垂径定理得：AD=2AM=
| 18 |
| 5 |
即△ADF的面积是
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
| 108 |
| 25 |
答：△ADF的面积是
| 108 |
| 25 |
点评：本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，三角形的面积，垂径定理，直角三角形的斜边上中线性质，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力，本题综合性比较强，有一定的难度．
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