题目内容
如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿A小区的北偏东60°方向往前铺设，测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的M小区位于北偏东30°方向，测绘员从A处出发，沿主输气管道步行2000米到达C处，此时测得M小区位于北偏西60°方向．现要在主输气管道AC上选择一个支管道连接点N，使从N处到M小区铺设的管道最短．（1）问：MN与AC满足什么位置关系时，从N到M小区铺设的管道最短？
（2）求∠AMC的度数和AN的长．
【答案】分析：（1）过M作MN⊥AC交于N点，即MN最短；
（2）根据方向角可以证得∠AMC=90°，根据三角函数即可求得MC，进而求得AN的长．
解答：
解：（1）当MN⊥AC时，从N到M小区铺设的管道最短，
（2）∵∠MAC=60°-30°=30°，∠ACM=30°+30°=60°，
∴∠AMC=180°-30°-60°=90°，
在Rt△AMC中，∵∠AMC=90°，∠MAC=30°，AC=2000，
∴AM=AC•cos∠MAC=2000×
=1000
（米），
在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，cos30°=
，
∴AN=AM?cos30°=1000
×
=1500（米）．
答：∠AMC等于90°，AN的长为1500米．
点评：本题主要考查了方向角含义，正确作出高线，证明△AMC是直角三角形是解题的关键．
（2）根据方向角可以证得∠AMC=90°，根据三角函数即可求得MC，进而求得AN的长．
解答：
解：（1）当MN⊥AC时，从N到M小区铺设的管道最短，（2）∵∠MAC=60°-30°=30°，∠ACM=30°+30°=60°，
∴∠AMC=180°-30°-60°=90°，
在Rt△AMC中，∵∠AMC=90°，∠MAC=30°，AC=2000，
∴AM=AC•cos∠MAC=2000×
=1000（米），在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，cos30°=
，∴AN=AM?cos30°=1000
×=1500（米）．答：∠AMC等于90°，AN的长为1500米．
点评：本题主要考查了方向角含义，正确作出高线，证明△AMC是直角三角形是解题的关键．
练习册系列答案
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如图，某天然气公司的主输气管道从A市向北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行8000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上用尺规作图的方法（不写作法，保留作图痕迹）找出支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求出AN的长．
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（2012•西城区二模）如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿A小区的北偏东60°方向往前铺设，测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的M小区位于北偏东30°方向，测绘员从A处出发，沿主输气管道步行2000米到达C处，此时测得M小区位于北偏西60°方向．现要在主输气管道AC上选择一个支管道连接点N，使从N处到M小区铺设的管道最短．
如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市的北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行1000米到达点C处，测得M小区位于点C的北偏西75°方向，试在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，此时AN的长约是（ ）