Question

1．在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（-1，0）．
（1）请直接写出点B，C的坐标：B（3，0），C（0，$\sqrt{3}$）；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线解析式；
（3）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A，B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（2）中的抛物线交于第一象限的点M．当AE=2时，抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据观察图象与x轴的交点，可得B点坐标，根据余弦函数，可得AC的长，再根据正弦函数，可得OC的长；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据等边三角形的判定，可得△CAE为等边三角形，根据根据轴对称的性质，可得M点坐标，根据勾股定理，可得ME的长，分类讨论：①当EP=EM=2时，根据两点间的距离，可得答案；②当EM=PM时，根据勾股定理，可得答案；③当PE=PM时，根据勾股定理，可得答案．

解答 解：（1）B（3，0），C（0，$\sqrt{3}$）；
（2）∵点A（-1，0），B（3，0），
∴可设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
∵点C（0，$\sqrt{3}$）也在此抛物线上，
∴$-3a=\sqrt{3}$，解得：$a=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴此抛物线的解析式为$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x+1）（x-3）$，即$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x^2}+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x+\sqrt{3}$．
（3）存在．
∵AE=2，
∴OE=1，
∴E（1，0），此时，△CAE为等边三角形．
∴∠AEC=∠A=60°．
又∵∠CEM=60°，
∴∠MEB=60°．
∴点C与点M关于抛物线的对称轴$x=\frac{3+（-1）}{2}=1$对称．
∵C（0，$\sqrt{3}$），
∴M（2，$\sqrt{3}$）．
过M作MN⊥x轴于点N（2，0），
∴MN=$\sqrt{3}$．
∴EN=1．
∴$EM=\sqrt{E{N^2}+M{N^2}}=\sqrt{{1^2}+{{（{\sqrt{3}}）}^2}}=2$．
若△PEM为等腰三角形，设P（1，a）
①当EP=EM=2时，即a=2，或a=-2，
∴P₁（1，2）或P₂（1，-2）．
②当EM=PM时，EM²=PM²，即（2-1）²+（$\sqrt{3}$-a）²=2²，化简，得
a²-2$\sqrt{3}$a=0．
解得a=2$\sqrt{3}$，a=0（不符合题意要舍去），
∴P₃（1，$2\sqrt{3}$）．
③当PE=PM时，PE²=PM²，即a²=（2-1）²+（$\sqrt{3}$-a）²，
化简，得2$\sqrt{3}$a=4，解得a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴P₄（1，$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$）．
∴综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，-2）或（1，$2\sqrt{3}$）或（1，$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$）时，△EPM为等腰三角形．

点评 本题考察了二次函数综合题，（1）利用了锐角三角函数；（2）利用了待定系数法求函数解析式；（3）利用了轴对称的性质，勾股定理得出线段的长度，分类讨论是解题关键，以防遗漏．