题目内容
Ⅰ．如图①，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证：
=
；
Ⅱ．如图②，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连结AG，AF，分别交DE于M，N两点．
（1）如图②，若AB=AC=1，直接写出MN的长；
（2）如图③，探究DM，MN，EN之间的关系，并说明理由．
| DP |
| BQ |
| PE |
| QC |
Ⅱ．如图②，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连结AG，AF，分别交DE于M，N两点．
（1）如图②，若AB=AC=1，直接写出MN的长；
（2）如图③，探究DM，MN，EN之间的关系，并说明理由．
考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质
专题：
分析：（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出
=
；
（2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高
，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长
，根据
等于高之比即可求出MN；
②可得出MN2=DM•EN，由△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又由DG=GF=EF，得GF2=CF•BG，再根据（1）
=
=
，从而得出答案．
| DP |
| BQ |
| PE |
| QC |
（2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高
| ||
| 2 |
| ||
| 3 |
| MN |
| GF |
②可得出MN2=DM•EN，由△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又由DG=GF=EF，得GF2=CF•BG，再根据（1）
| DM |
| BG |
| MN |
| BF |
| EN |
| FC |
解答：（1）证明：在△ABQ和△ADP中，
∵DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴
=
，
同理在△ACQ和△APE中，
=
，
∴
=
；
（2）①解：作AQ⊥BC于点Q．
∵BC边上的高AQ=
，
∵DE=DG=GF=EF=BG=CF
∴DE：BC=1：3
又∵DE∥BC，
∴AD：AB=1：3，
∴AD=
，DE=
，
∵DE边上的高为
，MN：GF=
：
，
∴MN：
=
：
，
∴MN=
．
②MN2=DM•EN．
证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，
∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC，
∴△BGD∽△EFC，
∴
=
，
∴DG•EF=CF•BG，
又∵DG=GF=EF，
∴GF2=CF•BG，
由（1）得
=
=
，
∴
×
=
•
，
∴（
）2=
•
，
∵GF2=CF•BG，
∴MN2=DM•EN．
∵DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴
| DP |
| BQ |
| AP |
| AQ |
同理在△ACQ和△APE中，
| PE |
| QC |
| AP |
| AQ |
∴
| DP |
| BQ |
| PE |
| QC |
（2）①解：作AQ⊥BC于点Q．∵BC边上的高AQ=
| ||
| 2 |
∵DE=DG=GF=EF=BG=CF
∴DE：BC=1：3
又∵DE∥BC，
∴AD：AB=1：3，
∴AD=
| 1 |
| 3 |
| ||
| 3 |
∵DE边上的高为
| ||
| 6 |
| ||
| 6 |
| ||
| 2 |
∴MN：
| ||
| 3 |
| ||
| 6 |
| ||
| 2 |
∴MN=
| ||
| 9 |
②MN2=DM•EN．
证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，
∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC，
∴△BGD∽△EFC，
∴
| DG |
| CF |
| BG |
| EF |
∴DG•EF=CF•BG，
又∵DG=GF=EF，
∴GF2=CF•BG，
由（1）得
| DM |
| BG |
| MN |
| BF |
| EN |
| FC |
∴
| MN |
| GF |
| MN |
| GF |
| DM |
| BG |
| EN |
| CF |
∴（
| MN |
| GF |
| DM |
| BG |
| EN |
| CF |
∵GF2=CF•BG，
∴MN2=DM•EN．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，注意利用相似三角形的对应边成比例解决问题．
练习册系列答案
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如图，已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，以顶点C、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，则EF的长为（ ）A、
| ||||
B、
| ||||
C、2-
| ||||
D、
|
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