Question

阅读下面的材料，并解答下列问题：
已知：

1

1×2

1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…
（1）根据你发现的规律写出第n（n为正整数）个式子是

 

；
（2）计算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

9×10

（3）利用这个规律解方程：

1

x(x+1)

+

1

(x+1)(x+2)

+…

1

(x+2012)(x+2013)

=

1

x+2013

．

Answer 1

考点：有理数的混合运算

专题：规律型

分析：（1）根据已知等式，归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（2）利用得出的规律计算即可得到结果；
（3）方程此规律将变形，计算即可求出解．

解答：解：（1）根据题意得：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
故答案为：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

9

-

1

10

=1-

1

10

=

9

10

；
（3）方程整理得：

1

x

-

1

x+1

+

1

x+1

-

1

x+2

+…+

1

x+2012

-

1

x+2013

=

1

x+2013

，即

1

x

=

2

x+2013

，
去分母得：x+2013=2x，
解得：x=2013，
经检验x=2013是分式方程的解．

点评：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．