题目内容

如图，二次函数y=
1
2
x2+bx+c的图象与x轴交于M（-1，0），N（3，0）两点，横坐标为-2的点S是抛物线上一定点，点A是抛物线上的动点．若点A从点S出发，横坐标以1个单位的速度增加，沿抛物线运动，过点A作矩形ABCD，AB∥x轴，AD∥y轴，且AB=2，AD=1．点P以1个单位的速度同时从点A出发，沿A→B→C→D→A的方向在矩形的边上运动．当点P返回A点时，运动均停止．设点A的运动时间为t．
（1）求点S的坐标；
（2）当点t=2.5时，求P点坐标；
（3 以点P为圆心，
t
2
长为半径作圆．当t为何值时，⊙P与x轴相切．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后把S点的横坐标代入即可求得．
（2）先求得A点的横坐标，代入抛物线的解析式即可求得纵坐标，然后根据题意求得P点的坐标．
（3）先求得P点的纵坐标，然后根据题意使纵坐标等于
t
2
或-
t
2
即可列出关于t的一元二次方程，解这个方程即可．
解答：解：（1）∵二次函数y=
1
2
x2+bx+c的图象与x轴交于M（-1，0），N（3，0）两点，
∴
1
2
×
1
4
-b+c=0
1
2
×9+3b+c=0
 解得：
b=-1
c=-
3
2
，
∴抛物线的解析式为：y=
1
2
x2-x-
3
2
，
把x=-2代入解析式得：y=
1
2
×4+2-
3
2
=
5
2
，
∴S（-2，
5
2
），

（2）∵点A从点S出发，横坐标以1个单位的速度增加，t=2.5，
∴A的横坐标为：x=-2+2.5=
1
2
，
把x=
1
2
代入y=
1
2
x2-x-
3
2
，解得：y=-
15
8
，
∴A（
1
2
，-
15
8
），
∵AB=2，AD=1，
∴P点的横坐标：x=
1
2
+2=
5
2
，纵坐标y=-
15
8
-
1
2
=-
19
8
．
∴P（
5
2
，-
19
8
）．

（3）当0≤t≤2时，根据题意A点的横坐标为：x=-2+t，
代入y=
1
2
x2-x-
3
2
得：y=
1
2
t2-3t+
5
2
，
∴A（-2+t，
1
2
t2-3t+
5
2
），
∴P（-2+2t，
1
2
t2-3t+
5
2
），
根据题意
∴
1
2
t2-3t+
5
2
=
t
2
，或
1
2
t2-3t+
5
2
=-
t
2
，
整理得：t2-7t+5=0，或t2-5t+5=0
解得：t=
7-
29
2
，t=
7+
29
2
（舍去）或t=
5-
5
2
，t=
5+
5
2
（舍去）
当2＜t≤3时，∵A（-2+t，
1
2
t2-3t+
5
2
），
∴P点的横坐标=-2+t+2=t，纵坐标=
1
2
t2-3t+
5
2
-（t-2）=
1
2
t2-4t+
9
2
，
根据题意得：
1
2
t2-4t+
9
2
=
t
2
，
整理得t2-7t+9=0，
解得：t=
7+
13
2
，t=
7-
13
2
（都不合题意）
∴t不存在；
当3＜t≤5时，∵A（-2+t，
1
2
t2-3t+
5
2
），
∴P点的横坐标=-2+t+[2-（t-3）]=3，纵坐标=
1
2
t2-3t+
5
2
-1=
1
2
t2-3t+
3
2
，
根据题意得：
1
2
t2-3t+
3
2
=-
t
2
，
整理得：t2-5t+3=0，
解得：t=
5+
13
2
，t=
5-
13
2
（舍去），
当5＜t≤6时，P点的横坐标=-2+t，纵坐标=
1
2
t2-3t+
5
2
-（6-t）=
1
2
t2-2t+
7
2
，
根据题意得：
1
2
t2-2t+
7
2
=
t
2
，
整理得；t2-3t+7=0，无解，
∴t不存在，
∴当t=
7-
29
2
，t=
5-
5
2
，t=
5+
13
2
时，⊙P与x轴相切．
点评：此题考查了用待定系数法求函数解析式，根据函数的横坐标求纵坐标，解一元二次方程等；应用分类思想求运动过程中图形的变化是本题的关键，此题综合性强，难度大．
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s
2
1
=18.3，
s
2
2
=17.4，
s
2
3
=20.1，
s
2
4
=12.5．则这四组测试中最稳定的一组为（　　）
A、第一组B、第二组
C、第三组D、第四组
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．

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