Question

如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．
（1）求证：AM∥BN；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）若F是CD的中点，问：OF与CD的数量关系如何；
（4）已知AD=x，BC=y，其中x，y是方程x²-13x+k=0的两根，xy=36，求⊙O的半径R．

Answer 1

考点：圆的综合题,平行线的判定与性质,角平分线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）根据切线的性质可得AM⊥AB，BN⊥AB，即可证到AM∥BN；
（2）过点O作OE⊥DC于E，只需运用角平分线的性质即可解决问题；
（3）根据切线长定理可得DA=DE，CB=CE，然后运用梯形中位线定理就可解决问题；
（4）根据切线长定理可得∠ADO=∠EDO，∠BCO=∠ECO，然后运用平行线的性质可得∠ADO+∠BCO=90°，由此可得到∠AOD=∠BCO，从而可得△OAD∽△CBO，然后运用相似三角形的性质就可解决问题．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AM、BN分别切⊙O于点A、B，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴∠MAB=∠NBA=90°，
∴∠MAB+∠NBA=180°，
∴AM∥BN；

（2）证明：过点O作OE⊥DC于E，如图，
∵DO平分∠ADC，OE⊥DC，OA⊥AD，
∴OA=OE，
∴CD是⊙O的切线；

（3）解：根据切线长定理可得：DA=DE，CB=CE，
∴CD=DE+CE=DA+CB．
∵AD∥BC，F是CD的中点，O是AB的中点，
∴OF=

1

2

（AD+BC）=

1

2

CD．

（4）解：连接OC，如图所示，
∵AD∥BC，
∴∠ADE+∠BCE=180°．
∴∠ADO+∠EDO+∠BCO+∠ECO=180°．
根据切线长定理可得：∠ADO=∠EDO，∠BCO=∠ECO，
∴2∠ADO+2∠BCO=180°即∠ADO+∠BCO=90°．
∵∠OAD=90°，∴∠ADO+∠AOD=90°，
∴∠AOD=∠BCO．
∵∠OAD=∠CBO，∠AOD=∠BCO，
∴△OAD∽△CBO，
∴

OA

CB

=

AD

OB

，
∴AD•BC=OA•OB，
∴xy=R²=36，
∴R=6（舍负），
即⊙O的半径R为6．

点评：本题主要考查了平行线的判定与性质、切线的判定与性质、切线长定理、角平分线的性质、梯形的中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性，证到△OAD∽△CBO是解决第（4）小题的关键．