Question

综合题

已知二次函数y＝x²＋bx＋c的图象经过点A(－3，6)，并与x轴交于点B(－1，0)和点C，顶点为P．

(1)求这个二次函数的解析式，并在直角坐标系中画出该二次函数的图象；

(2)设D为线段OC上的一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标；

(3)在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在．请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(－3，6)，B(－1，0)，得，解得．∴这个二次函数的解析式为：y＝x2－x－．由解析式可求得P(l，－2)，C(3，0)．二次函数的图象如图 　　(2)解法一：易证：∠ACB＝∠PCD＝，又已知：∠DPC＝∠BAC，∴△DPC＝△BAC，∴＝．易求得AC＝6，PC＝2，BC＝4．∴DC＝，∴OD＝3－＝，∴D(，0)． 　　解法二：过AE⊥x轴，垂足为F．亦可证△AEB∽△PFD．∴＝．易求得AE＝6，EB＝2，PF＝2，∴FD＝，∴OD＝＋1＝，∴D(，0); 　　(3)存在．()过M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于T．∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的内切圆圆心，∴MG＝MH＝OM．又∵MC＝OM，且OM＋MC＝OC，∴OM＋OM＝3，得OM＝3－3，∴M(3－3，0)；()在x轴的负半轴上，存在一点M′，同理＋OC＝C，＋OC＝，得＝3＋3，∴(－3－3，0)．即在x轴上存在满足条件的两个点．说明：只写出M、的坐标，没有过程的，不得分．