Question

3．已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，-a）都是一四边形的四个顶点，
（1）当CD为平行四边形ABCD边时，CD=10
（2）当以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形时，CD长的最小值为7$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理计算出AB长，再根据平行四边形的性质可得CD=AB=10；
（2）①CD是平行四边形的一条边，那么有AB=CD；②CD是平行四边形的一条对角线，过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，证△DBN≌△CAM，推出DN=CM=a，BN=AM=8-a，得出D（（8-a，6+a），由勾股定理得：CD²=（8-a-a）²+（6+a+a）²=8a²-8a+100=8（a-$\frac{1}{2}$）²+98，求出即可．

解答 解：（1）∵A（8，0），B（0，6），
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵CD为平行四边形ABCD边，
∴CD=AB=10，
故答案为：10；

（2）有两种情况：
①CD是平行四边形的一条边，那么有AB=CD=10
②CD是平行四边形的一条对角线，
过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，
则∠BND=∠DFA═∠CMA=∠QFA=90°，
∠CAM+∠FQA=90°，∠BDN+∠DBN=90°，
∵四边形ACBD是平行四边形，
∴BD=AC，∠C=∠D，BD∥AC，
∴∠BDF=∠FQA，
∴∠DBN=∠CAM，
在△DBN和△CAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BND=∠AMC}\\{∠DBN=∠CAM}\\{BD=AC}\end{array}\right.$，
∴△DBN≌△CAM（AAS），
∴DN=CM=a，BN=AM=8-a，
D（（8-a，6+a），
由勾股定理得：CD²=（8-a-a）²+（6+a+a）²=8a²-8a+100=8（a-$\frac{1}{2}$）²+98，
当a=$\frac{1}{2}$时，CD有最小值，是$\sqrt{98}$，∵$\sqrt{98}$＜10，
∴CD的最小值是$\sqrt{98}$=7$\sqrt{2}$．
故答案为：7$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，二次函数的最值的应用，关键是能得出关于a的二次函数解析式，题目比较好，难度偏大．