Question

11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在线段AB上，DE⊥CE．
①利用尺规作图，在线段AB上作出所有符合条件的E点（不要求写作法，保留作图痕迹）
②若AD=3，BC=5，AB=8，求△CED的面积．

Answer 1

分析 ①根据直径所对的圆周角是直角，作辅助圆O，可以得到两个点E；
②先证明△ADE∽△BE，列比例式$\frac{AD}{BE}=\frac{AE}{BC}$，设AE=x，BE=8-x，代入得：$\frac{3}{8-x}=\frac{x}{5}$，解得x=5或3；
分两种情况：i）当AE=5，BE=3时，如图2，ii）当AE=5，BE=3时，如图2，利用勾股定理求DE和CE的长，代入面积公式求得结论．

解答 解：①如图所示：

作法：（1）作CD的中垂线FG，交CD于O，
（2）以O为圆心，以OD为半径作圆，交AB于两点：E₁、E₂，
则E₁、E₂就是符合条件的点；
②∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴AB⊥AD，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AED+∠ADE=90°，
∵DE⊥CE，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠ADE=∠BEC，
∴△ADE∽△BEC，
∴$\frac{AD}{BE}=\frac{AE}{BC}$，
由已知：AD=3，BC=5，AB=8，则可设AE=x，BE=8-x，
∴$\frac{3}{8-x}=\frac{x}{5}$，
x=5或3，
当AE=5，BE=3时，如图2，
DE=CE=$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$DE²=$\frac{1}{2}$×$（\sqrt{34}）^{2}$=17，
当AE=3，BE=5时，如图3，
DE=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$DE•CE=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×$5\sqrt{2}$=15，
∴△CED的面积是17或15．

点评 本题考查了直角梯形、直角三角形边和角的关系、勾股定理、三角形相似的性质和判定、圆周角定理以及尺规作图，难度适中，明确直径所对的圆周角是直角，在直角三角形中常利用同角的余角相等证明两个角相等，并采用分类讨论的思想．