Question

20．利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．你能利用数形结合的思想解决下列问题吗？
（1）如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{8}$、…、$\frac{1}{{2}^{n}}$，根据图示我们可以知道：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．（用含有n的式子表示）
（2）如图②，一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的$\frac{2}{3}$，根据图示：
计算：$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{9}$+$\frac{2}{27}$+…+$\frac{2}{{3}^{n}}$=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$．（用含有n的式子表示）
（3）如图③是一个边长为1的正方形，根据图示：
计算：$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{9}$+$\frac{4}{27}$+$\frac{8}{81}$+…+$\frac{{2}^{n-1}}{{3}^{n}}$=1-$\frac{{2}^{n}}{{3}^{n}}$．（用含有n的式子表示）

Answer 1

分析 （1）根据题意找出规律进行计算即可；
（2）根据题干给出图形，依次取正方形面积的$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{9}$，$\frac{2}{27}$…找出规律即可；
（3）根据题干给出图形，依次取正方形面积的$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{9}$，$\frac{4}{27}$…找出规律即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
（2）$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{9}$+$\frac{2}{27}$+…+$\frac{2}{{3}^{n}}$=1-$\frac{1}{{3}^{n-1}}$×（1-$\frac{2}{3}$）=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$．
（3）$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{9}$+$\frac{4}{27}$+$\frac{8}{81}$+…+$\frac{{2}^{n-1}}{{3}^{n}}$=1-$\frac{{2}^{n}}{{3}^{n}}$．
故答案为：1-$\frac{1}{{2}^{n}}$；1-$\frac{1}{{3}^{n}}$；1-$\frac{{2}^{n}}{{3}^{n}}$．

点评 本题考查的图形的变化类，根据题干给出的图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．