Question

20．⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，点D在$\widehat{AB}$上运动（不与B，C点重合），过点D作DE∥BC，与AB的延长线交于点E，连接AD、BD．
（1）求证：∠ADB=∠E；
（2）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径；
（3）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？（不需要证明）

Answer 1

分析 （1）由DE∥BC，根据平行线的性质与圆周角定理，即可证得结论；
（2）连接AO并延长交BC于G，交⊙O于F，连接BF，根据圆周角定理求得∠ABF是直角，进而求得AF垂直平分BC，然后根据勾股定理求得AG，进而即可求得OB的长．
（3）当点D运动到$\widehat{BC}$的中点时，由垂径定理，可得OD⊥BC，又由DE∥BC，即可得OD⊥DE，即可证得DE与⊙O相切；

解答 （1）证明：如图1，∵DE∥BC，
∴∠ABC=∠E，
∵AB=AC，
∵∠ABC=∠C，
∴∠E=∠C，
∵∠ADB=∠C，
∴∠ADB=∠E；

（2）解：如图2，连接AO并延长交BC于G，交⊙O于F，连接BF，
∵∠ABC=∠C，∠F=∠C，
∴∠ABC=∠F，
∵AF是直径，
∴∠ABF=90°，
∴∠ABC+∠CBF=90°，
∴∠F+∠CBF=90°，
∴AF⊥BC，
∴EG=CG=$\frac{1}{2}$BC=3，
在RT△ABG中，AG=$\sqrt{A{B}^{2}-B{G}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
连接OB，设半径OB=OA=r，则OG=4-r，
在RT△OBG中，OB²=OG²+BG²，
即R²=3²+（4-r）²，解得r=$\frac{25}{8}$，
∴⊙O的半径为$\frac{25}{8}$；

（3）如图3，当点D运动到$\widehat{BC}$的中点时，DE与⊙O相切．
证明：∵点D运动到 $\widehat{BC}$的中点，
∴OD⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；

点评 此题考查了切线的判定、垂径定理、圆周角定理以及等腰三角形的性质，勾股定理的应用等．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．