Question

20．如图，BC是⊙O的弦，过⊙O上一点A作⊙O的切线AN，点M在AB上，过点M作BC的垂线交AN于点N，交直线BC于点G．
（1）如果要使AN=MN，那么BC应满足什么条件？
（2）如果M在AB的延长线上，那么AN、MN仍然相等吗？

Answer 1

分析 连接NM交BC于G，根据切线性质得出∠NAO=90°，求出∠MBO=∠MAO，根据等腰三角形判定推出即可．

解答 解：（1）BC是⊙O的半径，理由如下：
连接OA
∵AN切⊙O于A，
∴∠NAO=90°，
∵MN⊥BC，
∴∠MGB=90°，
∵MN=AN，
∴∠NAM=∠NMA．
∴∠NAM+∠MA0=90°，∠BMG+∠MBG=90°，
∵∠NMA=∠BMG，
∴∠MBO=∠MAO，
∵OA=OB，
∴BC经过圆心O，即BC是直径；
（2）M在AB的延长线上，那么AN、MN仍然相等，
如图，
∵AN切⊙O于A，
∴∠NAO=90°，
∵MN⊥BC，
∴∠MGB=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠4+∠5=90°
∵OA=OB，
∴∠1=∠3．
∵∠3=∠4，
∴∠1=∠4，
∴∠2=∠5，
∴MN=NA．

点评 本题考查了切线性质，等腰三角形的性质和判定，垂径定理，相似三角形的性质和判定的应用，