Question

13．如图，A（m，0），B（0，n），且m，n满足m²-4m+4+$\sqrt{n-2}$=0
（1）求S_△AOB；
（2）点C为y轴负半轴上一点，BD⊥CA交CA的延长线于点D，若∠BAD=∠CAO，求$\frac{BD}{AC}$的值；
（3）点E为y轴负半轴上一点，OH⊥AE于H，HO，AB的延长线交于点F，G为y轴正半轴上一点，且BG=OE，FG，EA的延长线交于点P，求证：点P的纵坐标是定值．

Answer 1

分析 （1）利用非负性得出m，n值，即可得出点A，B坐标，最后用三角形的面积公式即可；
（2）先求出先求出OC，进而得出22.5°的正切值，再求出AC的平方，再求出BD的平方即可；
（3）设出点E坐标，用待定系数法和直线交点坐标即可确定出点P坐标即可得出结论．

解答 解：（1）∵m²-4m+4+$\sqrt{n-2}$=0，
∴（m-2）²+$\sqrt{n-2}$=0，
∴m=n=2，
∴A（2，0），B（0，2），
∴OA=2，OB=2，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA×OB=2；
（2）如图1，在OC上取一点E，使OE=OA=2，
由（1）知，OA=OB=2，
∴∠OAB=45°，
∴AE=2$\sqrt{2}$，
∵∠BAD=∠CAO，
∴∠BAD=∠CAO=67.5°，
∵∠ADB=∠AOC=90°，
∴∠ABD=∠ACO=22.5°，
∴CE=AE=2$\sqrt{2}$，
∴OC=OE+CE=2（$\sqrt{2}$+1），
∴AC²=OA²+OC²=4+4（$\sqrt{2}$+1）²=8（2+$\sqrt{2}$），tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\sqrt{2}$-1，
在Rt△ABD中，tan∠ABD=tan22.5°=tan∠ACO=$\frac{AD}{BD}$=$\sqrt{2}$-1，
∴AD=（$\sqrt{2}$-1）BD，
在Rt△AOB中，OA=OB=2，
∴AB=2$\sqrt{2}$，
根据勾股定理得，AD²+BD²=AB²，
∴[（$\sqrt{2}$-1）BD]²+BD²=8，
∴BD²=2（2+$\sqrt{2}$），$\frac{B{D}^{2}}{A{C}^{2}}=\frac{2（2+\sqrt{2}）}{8（8+\sqrt{2}）}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{BD}{AC}$=$\frac{1}{2}$；
（3）如图2，由（1）知，A（2，0），B（0，2），
∴直线AB解析式为y=-x+2①，
设E（0，a），
∴OE=|a|=-a，
∵BG=OE，
∴BG=-a，
∴OG=2-a，
∴G（0，2-a），
∵A（0，2），E（0，a），
∴直线AE解析式为y=-$\frac{a}{2}$x+a②，
∵OH⊥AE，
∴直线OH解析式为y=$\frac{2}{a}$x③，
联立①③得，x=$\frac{2a}{a+2}$，y=$\frac{4}{a+2}$，
∴F（$\frac{2a}{a+2}$，$\frac{4}{a+2}$），
∵G（0，2-a），
∴直线FG的解析式为y=$\frac{a}{2}$x+2-a④，
联立②④得，x=$\frac{2（a-1）}{a}$，y=1，
∴P（$\frac{2（a-1）}{a}$，1），
∴点P的纵坐标是定值，定值为1．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了非负性的特征，三角形的面积公式，待定系数法，直线交点的确定方法，解本题的关键是用待定系数法确定直线解析式和确定直线的交点坐标，是一道比较简单，但计算量大的常考试题．