Question

17．观察下列一组等式，然后解答后面的问题：
（$\sqrt{2}+1$）（$\sqrt{2}-1$）=1，（$\sqrt{3}+\sqrt{2}$）（$\sqrt{3}-\sqrt{2}$）=1，（$\sqrt{4}+\sqrt{3}$）（$\sqrt{4}-\sqrt{3}$）=1，（$\sqrt{5}+\sqrt{4}$）（$\sqrt{5}-\sqrt{4}$）=1…
（1）观察上面的规律，计算下列式子的值：
（$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2013}+\sqrt{2012}}$）（$\sqrt{2013}+1$）．
（2）利用上面的规律，试比较$\sqrt{12}-\sqrt{11}$与$\sqrt{13}-\sqrt{12}$的大小．

Answer 1

分析 （1）根据题中给出的式子找出规律，根据此规律即可得出结论；
（2）把题中的式子取倒数，再比较大小即可．

解答 解：（1）由题意可得$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
原式=（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2013}$-$\sqrt{2012}$）•（$\sqrt{2013}$+1）
=（$\sqrt{2013}$-1）•（$\sqrt{2013}$+1）
=2013-1
=2012；

（2）$\frac{1}{\sqrt{12}-\sqrt{11}}$=$\sqrt{12}$+$\sqrt{11}$，$\frac{1}{\sqrt{13}-\sqrt{12}}$=$\sqrt{13}$+$\sqrt{12}$，
∵$\sqrt{12}$+$\sqrt{11}$＜$\sqrt{13}$+$\sqrt{12}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{12}-\sqrt{11}}$＜$\frac{1}{\sqrt{13}-\sqrt{12}}$，
∴$\sqrt{12}$-$\sqrt{11}$＞$\sqrt{13}$-$\sqrt{12}$．

点评 本题考查的是分母有理数，根据题中给出的例子找出规律是解答此题的关键．