Question

7．关于x的方程kx²-2x-1=0有两个实数根x₁，x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若（x₁+1）（x₂+1）=$\frac{4}{9}$k，求k的值．

Answer 1

分析 （1）只需根据二次项系数不为0且根的判别式大于等于0就可解决问题；
（2）只需运用根与系数的关系即可解决问题．

解答 解：（1）由题可得
$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{△=4+4k≥0}\end{array}\right.$，
解得：k≥-1且k≠0；
（2）根据根与系数的关系可得
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2}{k}}\\{{x}_{1}•{x}_{2}=-\frac{1}{k}}\end{array}\right.$，
∵（x₁+1）（x₂+1）=$\frac{4}{9}$k，
∴（x₁+1）（x₂+1）=x1•x2+x1+x2+1=-$\frac{1}{k}$+$\frac{2}{k}$+1=$\frac{1}{k}$+1=$\frac{4}{9}$k，
解得k=3．
∵k≥-1且k≠0，
∴k=3．

点评 本题主要考查了根的判别式、根与系数的关系等知识，需要注意的是：运用根的判别式首先要保证二次项系数不为0，运用根与系数的关系首先要保证二次项系数不为0且根的判别式大于等于0．