Question

17．（1）如图1，直线AB：y=-2x+8分别交x轴、y轴于点A、B，与直线OC：y=$\frac{6}{5}$x交于点C．
求①点C的坐标；
②△OAC的面积．
（2）如图2，已知直线OC：y=$\frac{6}{5}$x，作∠AOC的平分线ON，△OAC的面积为5，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连结AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）①首先求得A、B的坐标，利用方程组求出点C的坐标，②根据三角形的面积公式计算即可；
（2）当A、Q、H在同一直线上，且AH⊥OC时，AQ+HQ最小．即AQ+PQ存在最小值，求得OC的长，利用三角形的面积公式即可求得AQ+PQ的最小值．

解答 解（1）①在y=-2x+8中，令y=0，解得：x=4，
令x=0，解得：y=8，
则A的坐标是（4，0），B的坐标是（0，8），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{6}{5}x}\\{y=-2x+8}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴C（$\frac{5}{2}$，3），
②∵A（4，0），B（0，8），C（$\frac{5}{2}$，3），
∴S_△OAC=$\frac{1}{2}$×4×3=6．

（2）存在．
由题意，在OC上截取OH=OP，连结HQ，
∵OP平分∠AOC，
∴∠AOQ=∠COQ，
在△POQ和△HOQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{OH=OP}\\{∠HOQ=∠POQ}\\{OQ=OQ}\end{array}\right.$，
∴△POQ≌△HOQ（SAS），
∴PQ=HQ，
∴AQ+PQ=AQ+HQ，
当A、Q、H在同一直线上，且AH⊥OC时，AQ+HQ最小．即AQ+PQ存在最小值．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$•OA×h=5，解得h=$\frac{5}{2}$，
∴点C的纵坐标为$\frac{5}{2}$，
∴点C横坐标为$\frac{25}{12}$，
∴C（$\frac{25}{12}$，$\frac{5}{2}$），
∴OC=$\frac{5\sqrt{61}}{12}$，
∴$\frac{1}{2}$•OC•AH=5，
∴AH=$\frac{24\sqrt{61}}{61}$
∴这个最小值为 $\frac{24\sqrt{61}}{61}$．

点评 本题考查一次函数综合题、三角形的面积、全等三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会利用方程组确定两个函数图象的交点坐标，属于中考常考题型．