题目内容
15．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2-2ax-5交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴的负半轴于点C，且AB=8．（1）如图1，求a的值
（2）如图2，点D在第一象限的抛物线上，连接AD，过点D作DM∥y轴，交直线BC于点M，连接AM、BD、AM与BD交于点N，若S△ABN=S△DMN，求点D的坐标及tan∠DAB的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P在第一象限的抛物线上，过点P作AD的垂线，交x轴于点F，点E在x轴上（点E在点F的左侧），EF=15，点G在直线FP上，连接EP、OG．若EP=OG，∠PEF+∠G=45°，求点P的坐标．
分析 （1）求出对称轴以及的A、B坐标即可解决问题．
（2）首先证明CM∥AD，然后求出直线AD的解析式，利用方程组即可解决问题．
（3）如图3中，作GN⊥OA于N，PM⊥OF于M，PE与DN交于点K，DN与OG交于点H，OG与PE交于点J．首先证明△PEM≌△OGN，推出ON=PM=FN，GN=EM=FN，根据EF=15，列出方程即可解决问题．
解答 解：（1）如图1中，
∵对称轴x=-$\frac{-2a}{2a}$=1，AB=8，
∴点A坐标（-3，0），点B坐标（5，0），
把（-3，0）代入抛物线解析式，得到0=9a+6a-5，
∴a=$\frac{1}{3}$．
（2）如图2中，
∵S△ABN=S△DMN，
∴S△ABD=S△ADM，
∴CM∥AD，
∵直线BC解析式为y=x-5，设直线AD解析式为y=x+b，
把点A（-3，0）代入得到b=3，
∴直线AD解析式为y=x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{2}{3}x-5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=11}\end{array}\right.$，
∴点D坐标（8，11）．
（3）如图3中，作GN⊥OA于N，PM⊥OF于M，PE与DN交于点K，DN与OG交于点H，OG与PE交于点J．
∵∠DAB=∠AEK+∠EKA=45°，∠AEK+∠FGO=45°，
∴∠EKA=∠HKJ=∠FGO，
∵PG⊥AD，'
∴∠FGO+∠CHD=90°，
∵∠CHD=∠KHJ，
∴∠HKJ+∠KHJ=90°，
∴∠PEM+∠EOG=90°，∠NGO+∠GOA=90°，
∴∠PEM=∠NGO，
∵PE=GO，∠GNO=∠PME=90°，
∴△PEM≌△OGN，
∴ON=PM=FN，GN=EM=FN，
∴EN=FM=ON，设点P（m，$\frac{1}{3}$m2-$\frac{2}{3}$m-5），
∵EF=15，
∴3（$\frac{1}{3}$m2-$\frac{2}{3}$m-5）+m=15，
∴m=6或-5（舍弃），
∴点P坐标（6，3）．
点评 本题考查二次函数综合题、全等三角形的判定和性质、一次函数、两直线平行的条件等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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