Question

2．某校两大学生积极响应“自主创业”的号召，准备利用一个月假期投资销售一种进价为每件40元的小家电，通过试管营销发现，当销售单价在40元至100元之间（含40元和100元）时，每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数．其图象如图所示．
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（2）这两名学生预计每人赚取1300元的利润，他们的想法能否实现？每人与预期有多大的出入？

Answer 1

分析 （1）待定系数法求解即可得；
（2）根据：总利润=每件小家电利润×销售量，可得总利润W关于x的函数关系式，根据二次函数性质可得总利润的最大值，比较后可得答案．

解答 解：（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b（k≠0），
由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{50k+b=160}\\{65k+b=100}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-4}\\{b=360}\end{array}\right.$．
故y与x的函数表达式为y=-4x+360（40≤x≤100）．

（2）设销售该小家电获取的总利润为W，
则W=（x-40）（-4x+360）
=-4x²+520x-14400
=-4（x-65）²+2500，
∵-4＜0，
∴当x=65时，W取得最大值，W_最大值=2500，
∵$\frac{2500}{2}$＜1300，1300-$\frac{2500}{2}$=50，
∴他们的想法不能实现，每人与预期相比差50元．

点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式及二次函数的实际应用，理解题意抓住相等关系并列出函数解析式是解题关键．