题目内容
如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为5．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为1：2？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）在y=x+1中，当y=0时，x=-1；当y=5时，x=4，依此可得A与B的坐标；将A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）①设直线AB与y轴交于点E，由CP与y轴平行，得到∠ACP=∠AEO，求出AE与OA的长，得出sin∠AEO的值，即为sin∠ACP的值，由P的横坐标为m，分别代入直线与抛物线解析式得到两个纵坐标之差为PC的长，由PD=PCsin∠ACP表示出PD，利用二次函数的性质求出PD的最大值即可；
②存在，过D作DF⊥CP，过B作BG⊥PQ，交PC延长线与点Q，表示出DF与BG，进而表示出三角形DCP面积与三角形BCP面积，根据面积之比为1：2列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值即可．
（2）①设直线AB与y轴交于点E，由CP与y轴平行，得到∠ACP=∠AEO，求出AE与OA的长，得出sin∠AEO的值，即为sin∠ACP的值，由P的横坐标为m，分别代入直线与抛物线解析式得到两个纵坐标之差为PC的长，由PD=PCsin∠ACP表示出PD，利用二次函数的性质求出PD的最大值即可；
②存在，过D作DF⊥CP，过B作BG⊥PQ，交PC延长线与点Q，表示出DF与BG，进而表示出三角形DCP面积与三角形BCP面积，根据面积之比为1：2列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值即可．
解答：解：（1）在y=x+1中，当y=0时，x=-1；当y=5时，x=4．
则A（-1，0）、B（4，5），
将A（-1，0）、B（4，5）分别代入y=ax2+bx-3中，得
解得a=1，b=-2．
∴所求解析式为y=x2-2x-3．
（2）①设直线AB交y轴于点E，求得E（0，1），
∴OA=OE=1，∠AEO=45°，
∴∠ACP=∠AEO=45°，
∴PD=PCsin∠ACP=
PC．
设P（m，m2-2m-3），则C（m，m+1），
∴PC=（m+1）-（m2-2m-3）=-m2+3m+4．
∴PD=
(-m 2+3m+4)=-
(m-
)2+
．
∴PD的最大值为
．
②过D作DF⊥CP，过B作BG⊥PQ，交PC延长线与点Q，
∵sin∠ACP=
，
∴cos∠ACP=
，
在Rt△PDF中，DF=DP•sin∠DPC=DP•cos∠ACP=
×
（-m2+3m+4）=-
（m2-3m-4），
又∵BG=4-m，
∴
=
=
=
=
，
当
=
=
时，解得：m=0；
当
=
=2时，解得：m=3．
故当m=0或m=3时，PC把△PDB分成两个三角形的面积比为1：2．
则A（-1，0）、B（4，5），
将A（-1，0）、B（4，5）分别代入y=ax2+bx-3中，得
|
解得a=1，b=-2．
∴所求解析式为y=x2-2x-3．
（2）①设直线AB交y轴于点E，求得E（0，1），∴OA=OE=1，∠AEO=45°，
∴∠ACP=∠AEO=45°，
∴PD=PCsin∠ACP=
| ||
| 2 |
设P（m，m2-2m-3），则C（m，m+1），
∴PC=（m+1）-（m2-2m-3）=-m2+3m+4．
∴PD=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
25
| ||
| 8 |
∴PD的最大值为
25
| ||
| 8 |
②过D作DF⊥CP，过B作BG⊥PQ，交PC延长线与点Q，
∵sin∠ACP=
| ||
| 2 |
∴cos∠ACP=
| ||
| 2 |
在Rt△PDF中，DF=DP•sin∠DPC=DP•cos∠ACP=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
又∵BG=4-m，
∴
| S△DCP |
| S△BCP |
| ||
|
| DF |
| BG |
-
| ||
| 4-m |
| m+1 |
| 2 |
当
| S△DCP |
| S△BCP |
| m+1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当
| S△DCP |
| S△BCP |
| m+1 |
| 2 |
故当m=0或m=3时，PC把△PDB分成两个三角形的面积比为1：2．
点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，二次函数的图象与性质，锐角三角函数定义，同角三角函数间的基本关系，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．
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