题目内容
（2012•高淳县二模）如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm，DE=4cm．动线段DE（端点D从点B开始）沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止．过点E作EF∥AC交AB于点F（当点E与点C重合时，EF与CA重合），连接DF，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长；
（2）在这个运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；
（3）设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积．
分析：（1）由BD=tcm，DE=4cm，可得BE=BD+DE=（t+4）cm，又由EF∥AC，即可得△BEF∽△BAC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长；
（2）分三种情况讨论：①当DF=EF时，②当DE=EF时，③当DE=DF时，利用等腰三角形的性质与相似三角形的判定与性质，即可求得答案；
（3）首先设P是AC的中点，连接BP，可证得点B，N，P共线，即可得点N沿直线BP运动，MN也随之平移，设MN从ST位置运动到PQ位置，则四边形PQST是平行四边形，然后求得?PQST的面积即为MN所扫过的面积．
（2）分三种情况讨论：①当DF=EF时，②当DE=EF时，③当DE=DF时，利用等腰三角形的性质与相似三角形的判定与性质，即可求得答案；
（3）首先设P是AC的中点，连接BP，可证得点B，N，P共线，即可得点N沿直线BP运动，MN也随之平移，设MN从ST位置运动到PQ位置，则四边形PQST是平行四边形，然后求得?PQST的面积即为MN所扫过的面积．
解答：解：（1）∵BD=tcm，DE=4cm，
∴BE=BD+DE=（t+4）cm，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BCA，
∴EF：CA=BE：BC，
即EF：10=（t+4）：16，
解得：EF=
（t+4）（cm）；
（2）分三种情况讨论：
①如图1，∵当DF=EF时，
∴∠EDF=∠DEF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EF∥AC，
∴∠DEF=∠C，
∴∠EDF=∠B，
∴点B与点D重合，
∴t=0；
②如图2，当DE=EF时，
则4=
（t+4），
解得：t=
；
③如图3，∵当DE=DF时，有∠DFE=∠DEF=∠B=∠C，
∴△DEF∽△ABC．
∴
=
，
即
=
，
解得：t=
；
综上所述，当t=0、
或
秒时，△DEF为等腰三角形．
（3）如图4，设P是AC的中点，连接BP，
∵EF∥AC，
∴△FBE∽△ABC．
∴
=
，
∴
=
．
又∵∠BEN=∠C，
∴△NBE∽△PBC，
∴∠NBE=∠PBC．
∴点B，N，P共线，
∴点N沿直线BP运动，MN也随之平移．
如图5，设MN从ST位置运动到PQ位置，则四边形PQST是平行四边形．
∵M、N分别是DF、EF的中点，
∴MN∥DE，且ST=MN=
DE=2．
分别过点T、P作TK⊥BC，垂足为K，PL⊥BC，垂足为L，延长ST交PL于点R，则四边形TKLR是矩形，
∵当t=0时，EF=
（0+4）=
，TK=
EFsin∠DEF=
•
•
=
；
当t=12时，EF=AC=10，PL=
AC•sin∠C=
•10•
=3．
∴PR=PL-RL=PL-TK=3-
=
．
∴S平行四边形PQST=ST•PR=2×
=
．
∴整个运动过程中，MN所扫过的面积为
cm2．
∴BE=BD+DE=（t+4）cm，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BCA，
∴EF：CA=BE：BC，
即EF：10=（t+4）：16，
解得：EF=
| 5 |
| 8 |
（2）分三种情况讨论：①如图1，∵当DF=EF时，
∴∠EDF=∠DEF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EF∥AC，
∴∠DEF=∠C，
∴∠EDF=∠B，
∴点B与点D重合，
∴t=0；
②如图2，当DE=EF时，则4=
| 5 |
| 8 |
解得：t=
| 12 |
| 5 |
③如图3，∵当DE=DF时，有∠DFE=∠DEF=∠B=∠C，
∴△DEF∽△ABC．
∴
| DE |
| AB |
| EF |
| BC |
即
| 4 |
| 10 |
| ||
| 16 |
解得：t=
| 156 |
| 25 |
综上所述，当t=0、
| 12 |
| 5 |
| 156 |
| 25 |
（3）如图4，设P是AC的中点，连接BP，∵EF∥AC，
∴△FBE∽△ABC．
∴
| EF |
| AC |
| BE |
| BC |
∴
| EN |
| CP |
| BE |
| BC |
又∵∠BEN=∠C，
∴△NBE∽△PBC，
∴∠NBE=∠PBC．
∴点B，N，P共线，
∴点N沿直线BP运动，MN也随之平移．
如图5，设MN从ST位置运动到PQ位置，则四边形PQST是平行四边形．
∵M、N分别是DF、EF的中点，
∴MN∥DE，且ST=MN=
| 1 |
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分别过点T、P作TK⊥BC，垂足为K，PL⊥BC，垂足为L，延长ST交PL于点R，则四边形TKLR是矩形，
∵当t=0时，EF=
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| 8 |
| 5 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
当t=12时，EF=AC=10，PL=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
∴PR=PL-RL=PL-TK=3-
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
∴S平行四边形PQST=ST•PR=2×
| 9 |
| 4 |
| 9 |
| 2 |
∴整个运动过程中，MN所扫过的面积为
| 9 |
| 2 |
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、平行四边形的性质以及矩形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握分类讨论思想、方程思想与数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
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