Question

如图，两弦AB、CD相交于E，且AB⊥CD，过E的直线交AC于G，交BD于F．

(1)若EF⊥BD，求证AG＝GC；

(2)若AG＝GC，求证EF⊥BD．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)因为AB⊥CD于E，所以∠AED＝，所以∠GEA＋∠DEF＝－＝，因为EF⊥BD于F，所以∠D＋∠DEF＝，所以∠GEA＝∠D．又∠D＝∠A，所以∠A＝∠GEA．所以AG＝EG，因为AB⊥CD，所以∠A＋∠C＝∠AEG＋∠GEC＝，所以∠GEC＝∠C，所以GE＝GC．所以AG＝GC．所以G是AC的中点． 　　(2)因为AB⊥CD于E，G是AC的中点，所以AG＝GE，所以∠A＝∠GEA．又∠GEA＝∠BEF，所以∠A＝∠BEF．因为AB⊥CD于E，所以∠A＋∠C＝，所以∠BEF＋∠C＝．又∠C＝∠B，所以∠BEF＋∠B＝．所以∠EFB＝，即GF⊥BD．