Question

11．如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）ⁿ（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数．例如，（a+b）²=a²+2ab+b²展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字．请认真观察此图，写出（a+b）³的展开式（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³．

Answer 1

分析 由（a+b）=a+b，（a+b）²=a²+2ab+b²可得（a+b）ⁿ的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）^n-1的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）³的各项系数依次为1、3、3、1．

解答 解：根据题意，得
（a+b）²=a²+2ab+b²展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字．
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．
则（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³．
故答案是：a³+3a²b+3ab²+b³．

点评 此题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．