Question

16．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=$\sqrt{2}$AE²；④∠DFE=2∠DAC；⑤若连接CH，则CH∥EF，其中正确的个数为（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 由直角三角形斜边上的中线性质得出FD=$\frac{1}{2}$AB，证明△ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE，证出FE=$\frac{1}{2}$AB，延长FD=FE，①正确；
证出∠ABC=∠C，得出AB=AC，由等腰三角形的性质得出BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，由ASA证明△AEH≌△BEC，得出AH=BC=2CD，②正确；
证明△ABD～△BCE，得出$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BE}{AD}$，即BC•AD=AB•BE，再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出BC•AD=$\sqrt{2}$AE²，③正确；
根据△ABE是等腰直角三角形，AB=AC，AD⊥BC，求得∠BAD=∠CAD=22.5°，再根据三角形外角性质求得∠BFD=45°，即可得出∠DFE=45°，进而得到∠DFE=2∠DAC，故④正确；
根据AB=AC，∠BAH=∠CAH，AH=AH，判定△ABH≌△ACH，进而得到∠ACH=∠ABH=45°，再根据Rt△AEF中，∠AEF=45°，即可得到CH∥EF，故⑤正确．

解答 解：∵在△ABC中，AD和BE是高，
∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，
∵点F是AB的中点，
∴FD=$\frac{1}{2}$AB，
∵∠ABE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE，
∵点F是AB的中点，
∴FE=$\frac{1}{2}$AB，
∴FD=FE，①正确；

∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，
在△AEH和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEH=∠CEB}\\{AE=BE}\\{∠EAH=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△BEC（ASA），
∴AH=BC=2CD，故②正确；

∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，
∴△ABD～△BCE，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BE}{AD}$，即BC•AD=AB•BE，
∵$\sqrt{2}$AE²=AB•AE=AB•BE，BC•AD=AC•BE=AB•BE，
∴BC•AD=$\sqrt{2}$AE²，故③正确；

∵△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE=45°，
又∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=22.5°，
∵AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA=22.5°，
∴∠BFD=45°，
∴∠DFE=90°-45°=45°，
∴∠DFE=2∠DAC，故④正确；

∵AB=AC，∠BAH=∠CAH，AH=AH，
∴△ABH≌△ACH，
∴∠ACH=∠ABH=45°，
又∵Rt△AEF中，∠AEF=45°，
∴CH∥EF，故⑤正确．
故选：D．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．解题时注意，根据面积法也可以得出BC•AD=$\sqrt{2}$AE²成立．