Question

3．如图，AC是?ABCD的对角线，△ABC的外接圆O交DC的延长线于点M，AC=CD．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若tan∠BCM=$\frac{4}{3}$，求$\frac{CM}{MD}$的值．

Answer 1

分析 （1）连接AO并延长交BC于E，由于四边形ABCD是平行四边形，得到AB=CD，等量代换得到AB=AC，得到$\widehat{AB}=\widehat{AC}$，根据垂径定理得到AE⊥BC，于是得到结论；
（2）连接AM交BC于F，根据圆周角定理得到∠B=∠M，根据平行线的性质得到∠B=∠BCM，由tan∠B=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{4}{3}$，设AE=4k，BE=3k，得到BC=AD=AM=6k，根据勾股定理的FM=$\frac{11}{6}$k，于是得到结论．

解答 解：（1）连接AO并延长交BC于E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵AC=CD，
∴AB=AC，
∴$\widehat{AB}=\widehat{AC}$，
∴AE⊥BC，
∵AD∥BC，
∴AE⊥AD，
∵AD是⊙O的切线；
（2）连接AM交BC于F，
∵∠B=∠M，
∴∠M=∠D，
∴AD=AM，
∵AD∥BC，
∴∠B=∠BCM，
∵tan∠BCM=$\frac{4}{3}$，
∴tan∠B=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{4}{3}$，
设AE=4k，BE=3k，
∴BC=AD=AM=6k，
∵CF=MF，
∴AF²=AE²+EF²，
即（6k-FM）²=（4k）²+（3k-FM）²，
∴FM=$\frac{11}{6}$k，
∵CF∥AD，
∴$\frac{CM}{DM}=\frac{MF}{AM}=\frac{\frac{11}{6}k}{6k}$=$\frac{11}{36}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解直角三角形，切线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．