Question

20．已知抛物线y=-mx²+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$=-2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用根据与系数的关系得出α+β=$\frac{4}{m}$，αβ=-2，进而代入求出m的值即可得出答案；
（2）求得D、C、E的坐标，然后利用平行四边形的判定与性质结合P点纵坐标为±4，进而分别求出即可．

解答 解：（1）由题意可得：α，β是方程-mx²+4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得，
α+β=$\frac{4}{m}$，αβ=-2，
∵$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$=-2，
∴$\frac{α+β}{αβ}$=-2，即$\frac{\frac{4}{m}}{-2}$=-2，
解得：m=1，
故抛物线解析式为：y=-x²+4x+2；
（2）∵y=-x²+4x+2=-（x-2）²+6，
∴抛物线的对称轴l为x=2，顶点D的坐标为：（2，6），
又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：（0，2），点E与点C关于l对称，
∴E点坐标为：（4，2），
P为抛物线上的点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，
若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则△PHQ≌△DGE，
∴PH=DG=4，
∴|y|=4，
∴当y=4时，-x²+4x+2=4，
解得：x₁=2+$\sqrt{2}$，x₂=2-$\sqrt{2}$，
当y=-4时，-x²+4x+2=-4，
解得：x₃=2+$\sqrt{10}$，x₄=2-$\sqrt{10}$，
无法得出以DE为对角线的平行四边形，
故P点的坐标为；（2-$\sqrt{2}$，4），（2+$\sqrt{2}$，4），（2-$\sqrt{10}$，-4），（2+$\sqrt{10}$，-4）．

点评 此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点，平行四边形的性质，利用数形结合以及分类讨论得出P点坐标是解题关键．