Question

14．如图是二次函数y=ax²+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，有下列结论：①b²＞4ac；②ac＜0；③2a-b=0；④a-b+c=0．其中所有正确的结论是①②④．（填写正确结论的序号）

Answer 1

分析 根据抛物线与x轴有两个交点有b²-4ac＞0；由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则ac＜0；根据抛物线的对称性是x=1则可证得2a+b=0；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），所以a-b+c=0．

解答 解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，即b²＞4ac，所以①正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，所以②正确；
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，
∴-$\frac{b}{2a}$=1，∴2a+b=0，所以③错误；
∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），
∴a-b+c=0，所以④正确；
故答案为①②④．

点评 本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b²-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b²-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．