Question

【题目】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其对称轴交抛物线于点，交轴于点，已知.

⑴求抛物线的解析式及点的坐标；

⑵连接为抛物线上一动点，当时，求点的坐标；

⑶平行于轴的直线交抛物线于两点，以线段为对角线作菱形，当点在轴上，且时，求菱形对角线的长.

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣6，D（2，﹣8）；（2）F点的坐标为（7，）或（5，﹣）；（3）菱形对角线MN的长为+1或﹣1．

【解析】试题分析：（1）由条件可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，进一步可求得D点坐标；（2）过F作FG⊥x轴于点G，可设出F点坐标，利用△FAG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；（3）可求得P点坐标，设T为菱形对角线的交点，设出PT的长为n，从而可表示出M点的坐标，代入抛物线解析式可得到n的方程，可求得n的值，从而可求得MN的长．

试题解析：

（1）∵OB=OC=6，

∴B（6，0），C（0，﹣6），

∴，解得，

∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣6，

∵y=x2﹣2x﹣6=（x﹣2）2﹣8，

∴点D的坐标为（2，﹣8）；

（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，

设F（x，x2﹣2x﹣6），则FG=|x2﹣2x﹣6|，

在y=x2﹣2x﹣6中，令y=0可得x2﹣2x﹣6=0，解得x=﹣2或x=6，

∴A（﹣2，0），

∴OA=2，则AG=x+2，

∵B（6，0），D（2，﹣8），

∴BE=6﹣2=4，DE=8，

当∠FAB=∠EDB时，且∠FGA=∠BED，

∴△FAG∽△BDE，

∴ ，即=，

当点F在x轴上方时，则有，解得x=﹣2（舍去）或x=7，此进F点坐标为（7，）；

当点F在x轴上方时，则有，得x=﹣2（舍去）或x=5，此进F点坐标为（5，﹣）；

综上可知F点的坐标为（7，）或（5，﹣）；

（3）∵点P在x轴上，

∴由菱形的对称性可知P（2，0），

如图2，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点，

∵PQ=MN，

∴MT=2PT，

设PT=n，则MT=2n，

∴M（2+2n，n），

∵M在抛物线上，

∴n=（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=或n=，

∴MN=2MT=4n=+1；

当MN在x轴下方时，同理可设PT=n，则M（2+2n，﹣n），

∴﹣n=（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=或n=（舍去），

∴MN=2MT=4n=﹣1；

综上可知菱形对角线MN的长为+1或﹣1．